Номер 168, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 4x + 3}{x - a} = 0;$

2) $\frac{x - a}{x^2 - 4x + 3} = 0;$

3) $\frac{x^2 - (a + 2)x + 2a}{x - 3} = 0;$

4) $\frac{x^2 - (a + 1)x + 3a - 6}{x - 3} = 0.$

1) Уравнение имеет вид $\frac{f(x)}{g(x)} = 0$. Оно равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) = 0, \\ g(x) \neq 0. \end{cases} $$ В данном случае: $$ \frac{x^2 - 4x + 3}{x - a} = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 - 4x + 3 = 0, \\ x - a \neq 0. \end{cases} $$ Решим первое уравнение системы: $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Теперь учтем второе условие системы: $x \neq a$. Рассмотрим возможные значения параметра $a$:

• Если $a = 1$, то корень $x=1$ не удовлетворяет условию $x \neq a$. В этом случае решением уравнения будет только $x=3$.
• Если $a = 3$, то корень $x=3$ не удовлетворяет условию $x \neq a$. В этом случае решением уравнения будет только $x=1$.
• Если $a \neq 1$ и $a \neq 3$, то оба корня, $x=1$ и $x=3$, удовлетворяют условию $x \neq a$.

Ответ: если $a=1$, то $x=3$; если $a=3$, то $x=1$; если $a \neq 1$ и $a \neq 3$, то $x_1=1, x_2=3$.

2) Данное уравнение $\frac{x - a}{x^2 - 4x + 3} = 0$ равносильно системе: $$ \begin{cases} x - a = 0, \\ x^2 - 4x + 3 \neq 0. \end{cases} $$ Из первого уравнения получаем $x = a$.
Из второго условия, зная корни знаменателя из предыдущего пункта, получаем: $x^2 - 4x + 3 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq 3$.
Корень $x=a$ будет решением исходного уравнения, если он не совпадает с запрещенными значениями. То есть, если $a \neq 1$ и $a \neq 3$.

• Если $a=1$ или $a=3$, то корень $x=a$ совпадает с одним из значений, при которых знаменатель обращается в ноль, следовательно, уравнение не имеет решений.
• Если $a \neq 1$ и $a \neq 3$, то корень $x=a$ является решением уравнения.

Ответ: если $a=1$ или $a=3$, то корней нет; если $a \neq 1$ и $a \neq 3$, то $x=a$.

3) Уравнение $\frac{x^2 - (a + 2)x + 2a}{x - 3} = 0$ равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - (a + 2)x + 2a = 0, \\ x - 3 \neq 0. \end{cases} $$ Решим квадратное уравнение $x^2 - (a + 2)x + 2a = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $a+2$, а их произведение равно $2a$. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = a$.
Теперь учтем условие $x \neq 3$.

• Корень $x_1=2$ всегда является решением, так как $2 \neq 3$.
• Корень $x_2=a$ является решением, только если $a \neq 3$.

Рассмотрим случаи:

• Если $a = 3$, то корень $x_2=a=3$ не является решением, так как обращает знаменатель в ноль. Единственным решением остается $x=2$.
• Если $a \neq 3$, то оба корня являются решениями: $x=2$ и $x=a$. (В частном случае, когда $a=2$, эти корни совпадают, и решением будет $x=2$).

Ответ: если $a=3$, то $x=2$; если $a \neq 3$, то $x_1=2, x_2=a$.

4) Уравнение $\frac{x^2 - (a + 1)x + 3a - 6}{x - 3} = 0$ равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - (a + 1)x + 3a - 6 = 0, \\ x - 3 \neq 0. \end{cases} $$ Решим уравнение числителя $x^2 - (a + 1)x + 3a - 6 = 0$. Заметим, что при $x=3$ выражение в числителе обращается в ноль: $3^2 - (a+1) \cdot 3 + 3a - 6 = 9 - 3a - 3 + 3a - 6 = 0$. Следовательно, $x_1=3$ является корнем числителя при любом значении $a$. По теореме Виета найдем второй корень $x_2$: $x_1 + x_2 = 3 + x_2 = a+1 \Rightarrow x_2 = a-2$. Итак, корни числителя: $x_1=3$ и $x_2=a-2$.
Теперь учтем условие знаменателя $x \neq 3$. Это означает, что корень $x_1=3$ никогда не может быть решением исходного уравнения.
Единственным возможным решением является $x = a-2$. Это решение существует, если оно не совпадает с запрещенным значением $x=3$. Найдем, при каком $a$ это происходит: $a-2 = 3 \Rightarrow a=5$.

• Если $a=5$, то единственный возможный корень $x=a-2=3$ также отбрасывается. В этом случае уравнение не имеет решений.
• Если $a \neq 5$, то корень $x=a-2$ не равен 3 и является единственным решением уравнения.

Ответ: если $a=5$, то корней нет; если $a \neq 5$, то $x=a-2$.