Номер 162, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Разложите на множители многочлен:

1) $x^2 + 4xy - 5y^2$;

2) $15a^2 + 14ab - 8b^2$;

3) $12m^2 + 5mn - 2n^2$.

1) Чтобы разложить на множители многочлен $x^2 + 4xy - 5y^2$, представим его как квадратный трехчлен относительно переменной $x$.
Можно применить метод группировки, представив средний член $4xy$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого найдем два одночлена, сумма которых равна $4xy$, а произведение равно произведению крайних членов, то есть $x^2 \cdot (-5y^2) = -5x^2y^2$. Такими одночленами являются $5xy$ и $-xy$.
Запишем многочлен в новом виде и сгруппируем слагаемые:
$x^2 + 5xy - xy - 5y^2 = (x^2 + 5xy) + (-xy - 5y^2)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x(x + 5y) - y(x + 5y)$
Теперь вынесем общий множитель $(x+5y)$ за скобки:
$(x + 5y)(x - y)$

Ответ: $(x - y)(x + 5y)$

2) Для разложения многочлена $15a^2 + 14ab - 8b^2$ используем метод группировки. Найдем два одночлена, которые в сумме дают средний член $14ab$, а в произведении - произведение крайних членов, то есть $15a^2 \cdot (-8b^2) = -120a^2b^2$.
Для этого найдем два числа, сумма которых равна 14, а произведение равно -120. Эти числа — 20 и -6.
Следовательно, одночлены будут $20ab$ и $-6ab$.
Представим многочлен в виде:
$15a^2 + 20ab - 6ab - 8b^2$
Сгруппируем слагаемые:
$(15a^2 + 20ab) + (-6ab - 8b^2)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$5a(3a + 4b) - 2b(3a + 4b)$
Вынесем общий множитель $(3a+4b)$:
$(3a + 4b)(5a - 2b)$

Ответ: $(5a - 2b)(3a + 4b)$

3) Разложим на множители многочлен $12m^2 + 5mn - 2n^2$. Представим средний член $5mn$ в виде суммы. Нам нужны два одночлена, сумма которых равна $5mn$, а произведение равно $12m^2 \cdot (-2n^2) = -24m^2n^2$.
Найдем два числа, сумма которых 5, а произведение -24. Это числа 8 и -3.
Таким образом, искомые одночлены - это $8mn$ и $-3mn$.
Перепишем выражение:
$12m^2 + 8mn - 3mn - 2n^2$
Сгруппируем слагаемые:
$(12m^2 + 8mn) + (-3mn - 2n^2)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$4m(3m + 2n) - n(3m + 2n)$
Вынесем за скобки общий множитель $(3m+2n)$:
$(3m + 2n)(4m - n)$

Ответ: $(4m - n)(3m + 2n)$