Номер 155, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 155, страница 82.

Условие.

155. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 3 раза больше соответствующих корней уравнения $3x^2 - 7x + 3 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета.

Дано исходное квадратное уравнение: $3x^2 - 7x + 3 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно теореме Виета, для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -b/a$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a=3$, $b=-7$, $c=3$.

Найдем сумму и произведение корней исходного уравнения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-7}{3} = \frac{7}{3}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{3} = 1$.

По условию, нам нужно составить новое квадратное уравнение, корни которого (обозначим их как $y_1$ и $y_2$) в 3 раза больше соответствующих корней исходного уравнения. Это означает:

$y_1 = 3x_1$

$y_2 = 3x_2$

Теперь найдем сумму и произведение для этих новых корней:

Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = 3x_1 + 3x_2 = 3(x_1 + x_2) = 3 \cdot \frac{7}{3} = 7$.

Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = (3x_1) \cdot (3x_2) = 9(x_1 \cdot x_2) = 9 \cdot 1 = 9$.

Используя обратную теорему Виета, можно составить приведенное квадратное уравнение вида $z^2 + pz + q = 0$, где $p = -(y_1 + y_2)$ и $q = y_1 \cdot y_2$.

Подставим найденные значения суммы и произведения новых корней:

$p = -7$

$q = 9$

Таким образом, искомое квадратное уравнение (заменив переменную $z$ на $x$) имеет вид:

$x^2 - 7x + 9 = 0$.

Ответ: $x^2 - 7x + 9 = 0$.