Номер 152, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3 - номер 152, страница 82.

Условие.

152. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 3x + m = 0$ удовлетворяют условию $3x_1 - 4x_2 = 37$. Найдите корни уравнения и значение $m$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 3x + m = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-3) = 3$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = m$

Также, по условию задачи, корни удовлетворяют уравнению $3x_1 - 4x_2 = 37$.

Для нахождения корней $x_1$ и $x_2$ составим и решим систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ 3x_1 - 4x_2 = 37 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x_1$ через $x_2$:

$x_1 = 3 - x_2$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3(3 - x_2) - 4x_2 = 37$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$9 - 3x_2 - 4x_2 = 37$

$9 - 7x_2 = 37$

$-7x_2 = 37 - 9$

$-7x_2 = 28$

$x_2 = \frac{28}{-7} = -4$

Теперь найдем $x_1$, подставив значение $x_2$ в выражение $x_1 = 3 - x_2$:

$x_1 = 3 - (-4) = 3 + 4 = 7$

Мы нашли корни уравнения: $x_1=7$ и $x_2=-4$.

Для нахождения параметра $m$ воспользуемся вторым соотношением из теоремы Виета: $m = x_1 \cdot x_2$.

Подставим найденные значения корней:

$m = 7 \cdot (-4) = -28$

Ответ: корни уравнения: $7$ и $-4$; значение $m = -28$.