Номер 157, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 157, страница 82.

Условие.

157. Найдите корни квадратного трёхчлена:

1) $x^2 - 15x + 56;$

2) $20x^2 - 12x + 1;$

3) $x^2 - 14x + 15.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^2 - 15x + 56$

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена, приравниваем его к нулю и решаем полученное квадратное уравнение: $x^2 - 15x + 56 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Коэффициенты в данном уравнении: $a=1, b=-15, c=56$.

Сначала вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-15) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$x_2 = \frac{-(-15) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: 7; 8.

2) $20x^2 - 12x + 1$

Приравняем трёхчлен к нулю, чтобы найти его корни: $20x^2 - 12x + 1 = 0$.

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами: $a=20, b=-12, c=1$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 1 = 144 - 80 = 64$.

Дискриминант положителен ($D > 0$), значит, есть два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.

Найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-12) - 8}{2 \cdot 20} = \frac{12 - 8}{40} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$.

$x_2 = \frac{-(-12) + 8}{2 \cdot 20} = \frac{12 + 8}{40} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$; $\frac{1}{2}$.

3) $x^2 - 14x + 15$

Чтобы найти корни, решим уравнение $x^2 - 14x + 15 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-14, c=15$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 196 - 60 = 136$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$.

Теперь найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-14) - 2\sqrt{34}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 2\sqrt{34}}{2} = \frac{2(7 - \sqrt{34})}{2} = 7 - \sqrt{34}$.

$x_2 = \frac{-(-14) + 2\sqrt{34}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 2\sqrt{34}}{2} = \frac{2(7 + \sqrt{34})}{2} = 7 + \sqrt{34}$.

Ответ: $7 - \sqrt{34}$; $7 + \sqrt{34}$.