Номер 163, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 163, страница 83.

Условие.

163. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $(a^2 - 4a - 5)x = a^2 - 25$;

2) $(a^2 - 9a - 10)x = 3a^2 + a - 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное уравнение: $(a^2 - 4a - 5)x = a^2 - 25$.

Это линейное уравнение относительно переменной $x$ вида $Cx = D$, где коэффициент $C = a^2 - 4a - 5$ и свободный член $D = a^2 - 25$. Решение уравнения зависит от значения коэффициента при $x$.

Разложим на множители коэффициент при $x$ и правую часть уравнения.

Коэффициент при $x$: $a^2 - 4a - 5$. Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение $a^2 - 4a - 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Корнями являются $a_1 = 5$ и $a_2 = -1$. Следовательно, разложение на множители имеет вид: $a^2 - 4a - 5 = (a - 5)(a + 1)$.

Правая часть уравнения: $a^2 - 25$. Это разность квадратов, которая раскладывается как $a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$.

Теперь уравнение можно переписать в виде:

$(a - 5)(a + 1)x = (a - 5)(a + 5)$

Рассмотрим три возможных случая для параметра $a$.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

Это условие выполняется, если $(a - 5)(a + 1) \neq 0$, то есть $a \neq 5$ и $a \neq -1$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(a - 5)(a + 1)$:

$x = \frac{(a - 5)(a + 5)}{(a - 5)(a + 1)}$

Поскольку $a \neq 5$, мы можем сократить дробь на множитель $(a - 5)$:

$x = \frac{a + 5}{a + 1}$

Случай 2: $a = 5$.

В этом случае коэффициент при $x$ обращается в ноль. Подставим $a = 5$ в исходное уравнение:

$(5^2 - 4 \cdot 5 - 5)x = 5^2 - 25$

$(25 - 20 - 5)x = 25 - 25$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$. Следовательно, $x$ — любое действительное число.

Случай 3: $a = -1$.

В этом случае коэффициент при $x$ также обращается в ноль. Подставим $a = -1$ в исходное уравнение:

$((-1)^2 - 4(-1) - 5)x = (-1)^2 - 25$

$(1 + 4 - 5)x = 1 - 25$

$0 \cdot x = -24$

Это равенство неверно ни при каком значении $x$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a = 5$, то $x$ — любое число; если $a = -1$, то корней нет; если $a \neq 5$ и $a \neq -1$, то $x = \frac{a + 5}{a + 1}$.

---

2) Исходное уравнение: $(a^2 - 9a - 10)x = 3a^2 + a - 2$.

Аналогично первому пункту, это линейное уравнение относительно $x$. Разложим на множители коэффициент при $x$ и правую часть.

Коэффициент при $x$: $a^2 - 9a - 10$. Решим уравнение $a^2 - 9a - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1 = 10$ и $a_2 = -1$. Таким образом, $a^2 - 9a - 10 = (a - 10)(a + 1)$.

Правая часть уравнения: $3a^2 + a - 2$. Решим уравнение $3a^2 + a - 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$. Корни уравнения: $a_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$ и $a_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Разложение на множители: $3a^2 + a - 2 = 3(a - (-1))(a - \frac{2}{3}) = (a + 1)(3a - 2)$.

Уравнение принимает вид:

$(a - 10)(a + 1)x = (a + 1)(3a - 2)$

Рассмотрим три возможных случая для параметра $a$.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

Это выполняется, если $(a - 10)(a + 1) \neq 0$, то есть $a \neq 10$ и $a \neq -1$. В этом случае решение находится делением:

$x = \frac{(a + 1)(3a - 2)}{(a - 10)(a + 1)}$

Поскольку $a \neq -1$, можно сократить дробь на $(a + 1)$:

$x = \frac{3a - 2}{a - 10}$

Случай 2: $a = -1$.

В этом случае и левая, и правая части уравнения содержат множитель $(a+1)$, который равен нулю. Подставим $a = -1$ в преобразованное уравнение:

$(-1 - 10)(-1 + 1)x = (-1 + 1)(3(-1) - 2)$

$-11 \cdot 0 \cdot x = 0 \cdot (-5)$

$0 \cdot x = 0$

Равенство верно при любом значении $x$. Следовательно, $x$ — любое действительное число.

Случай 3: $a = 10$.

В этом случае коэффициент при $x$ равен нулю, но правая часть не равна нулю. Подставим $a = 10$ в уравнение:

$(10 - 10)(10 + 1)x = (10 + 1)(3 \cdot 10 - 2)$

$0 \cdot 11 \cdot x = 11 \cdot (30 - 2)$

$0 \cdot x = 11 \cdot 28$

$0 \cdot x = 308$

Это равенство ложно. Уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a = -1$, то $x$ — любое число; если $a = 10$, то корней нет; если $a \neq -1$ и $a \neq 10$, то $x = \frac{3a - 2}{a - 10}$.