Номер 166, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 166, страница 84.

Условие.

166. Решите уравнение методом замены переменной:

1) $(x^2 - 8)^2 - 5(x^2 - 8) - 14 = 0;$

2) $(x + 7)^4 - 17(x + 7)^2 + 16 = 0;$

3) $(x^2 - 3x)^2 - 8(x^2 - 3x) - 20 = 0;$

4) $(x^2 + 3x - 1)^2 - 12x^2 - 36x + 39 = 0;$

5) $(x^2 - 4x + 1)(x^2 - 4x + 2) = 2;$

6) $(x^4 - 10x^2)^2 - 2(x^4 - 10x^2) = 99.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано уравнение $(x^2 - 8)^2 - 5(x^2 - 8) - 14 = 0$.

Это уравнение можно упростить, введя замену переменной. Пусть $t = x^2 - 8$. Тогда исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 5t - 14 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{5 - 9}{2} = -2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 7$.

$x^2 - 8 = 7$

$x^2 = 15$

$x = \pm\sqrt{15}$.

Случай 2: $t = -2$.

$x^2 - 8 = -2$

$x^2 = 6$

$x = \pm\sqrt{6}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-\sqrt{15}; -\sqrt{6}; \sqrt{6}; \sqrt{15}$.

2)

Дано уравнение $(x + 7)^4 - 17(x + 7)^2 + 16 = 0$.

Это биквадратное уравнение относительно выражения $(x+7)$. Введем замену переменной. Пусть $t = (x + 7)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 17t + 16 = 0$.

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 17, а их произведение равно 16. Следовательно, корни:

$t_1 = 1$ и $t_2 = 16$.

Оба корня неотрицательны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 1$.

$(x + 7)^2 = 1$

Это уравнение распадается на два:

$x + 7 = 1 \implies x = 1 - 7 = -6$.

$x + 7 = -1 \implies x = -1 - 7 = -8$.

Случай 2: $t = 16$.

$(x + 7)^2 = 16$

Это уравнение также распадается на два:

$x + 7 = 4 \implies x = 4 - 7 = -3$.

$x + 7 = -4 \implies x = -4 - 7 = -11$.

Итак, мы получили четыре корня.

Ответ: $-11; -8; -6; -3$.

3)

Дано уравнение $(x^2 - 3x)^2 - 8(x^2 - 3x) - 20 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 3x$. Уравнение преобразуется в квадратное:

$t^2 - 8t - 20 = 0$.

Решим его с помощью дискриминанта: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{8 + 12}{2} = 10$.

$t_2 = \frac{8 - 12}{2} = -2$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 10$.

$x^2 - 3x = 10 \implies x^2 - 3x - 10 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. $D_x = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2$.

Случай 2: $t = -2$.

$x^2 - 3x = -2 \implies x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 3, произведение равно 2. Корни: $x_3 = 1, x_4 = 2$.

Ответ: $-2; 1; 2; 5$.

4)

Дано уравнение $(x^2 + 3x - 1)^2 - 12x^2 - 36x + 39 = 0$.

Преобразуем уравнение, чтобы выделить повторяющееся выражение. Вынесем $-12$ за скобки в третьем и четвертом слагаемых:

$(x^2 + 3x - 1)^2 - 12(x^2 + 3x) + 39 = 0$.

Теперь можно сделать замену. Пусть $t = x^2 + 3x - 1$. Тогда $x^2 + 3x = t + 1$.

Подставим в уравнение:

$t^2 - 12(t + 1) + 39 = 0$

$t^2 - 12t - 12 + 39 = 0$

$t^2 - 12t + 27 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение для $t$ по теореме Виета. Сумма корней 12, произведение 27. Корни:

$t_1 = 3$ и $t_2 = 9$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 3$.

$x^2 + 3x - 1 = 3 \implies x^2 + 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней -3, произведение -4. Корни: $x_1 = 1, x_2 = -4$.

Случай 2: $t = 9$.

$x^2 + 3x - 1 = 9 \implies x^2 + 3x - 10 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней -3, произведение -10. Корни: $x_3 = 2, x_4 = -5$.

Ответ: $-5; -4; 1; 2$.

5)

Дано уравнение $(x^2 - 4x + 1)(x^2 - 4x + 2) = 2$.

Заметим, что в обеих скобках присутствует выражение $x^2 - 4x$. Введем замену. Пусть $t = x^2 - 4x + 1$.

Тогда вторую скобку можно выразить через $t$: $x^2 - 4x + 2 = (x^2 - 4x + 1) + 1 = t + 1$.

Уравнение принимает вид:

$t(t + 1) = 2$.

$t^2 + t - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней -1, произведение -2. Корни:

$t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 1$.

$x^2 - 4x + 1 = 1 \implies x^2 - 4x = 0$.

$x(x - 4) = 0$.

Корни: $x_1 = 0, x_2 = 4$.

Случай 2: $t = -2$.

$x^2 - 4x + 1 = -2 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней 4, произведение 3. Корни: $x_3 = 1, x_4 = 3$.

Ответ: $0; 1; 3; 4$.

6)

Дано уравнение $(x^4 - 10x^2)^2 - 2(x^4 - 10x^2) = 99$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^4 - 10x^2$. Перепишем уравнение в виде:

$t^2 - 2t - 99 = 0$.

Решим это квадратное уравнение для $t$ с помощью дискриминанта: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-99) = 4 + 396 = 400 = 20^2$.

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{2 + 20}{2} = 11$.

$t_2 = \frac{2 - 20}{2} = -9$.

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 11$.

$x^4 - 10x^2 = 11 \implies x^4 - 10x^2 - 11 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: $y = x^2$, где $y \ge 0$.

$y^2 - 10y - 11 = 0$.

По теореме Виета, $y_1 = 11, y_2 = -1$. Корень $y_2 = -1$ не подходит, так как $y \ge 0$.

Остается $y = 11$, откуда $x^2 = 11 \implies x = \pm\sqrt{11}$.

Случай 2: $t = -9$.

$x^4 - 10x^2 = -9 \implies x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.

Снова сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

$y^2 - 10y + 9 = 0$.

По теореме Виета, $y_3 = 1, y_4 = 9$. Оба корня подходят.

Если $y = 1$, то $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

Если $y = 9$, то $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Объединяя все найденные корни, получаем шесть решений.

Ответ: $-\sqrt{11}; -3; -1; 1; 3; \sqrt{11}$.