Номер 176, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 176, страница 86.

Условие.

176. Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше её знаменателя. Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 4, то полученная дробь будет на $\frac{1}{3}$ больше исходной. Найдите исходную дробь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим знаменатель исходной дроби через $x$.Согласно условию, числитель дроби на 1 меньше ее знаменателя, следовательно, числитель равен $x-1$.Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{x-1}{x}$.

Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 4, то новый числитель станет равен $(x-1)+4 = x+3$, а новый знаменатель — $x+4$.Новая дробь будет равна $\frac{x+3}{x+4}$.

По условию задачи, полученная дробь на $\frac{1}{3}$ больше исходной. Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{x+3}{x+4} = \frac{x-1}{x} + \frac{1}{3}$

Для решения этого уравнения перенесем все члены, содержащие $x$, в одну сторону:

$\frac{x+3}{x+4} - \frac{x-1}{x} = \frac{1}{3}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+4)$:

$\frac{x(x+3) - (x-1)(x+4)}{x(x+4)} = \frac{1}{3}$

Раскроем скобки в числителе левой части:

$\frac{x^2 + 3x - (x^2 + 4x - x - 4)}{x^2 + 4x} = \frac{1}{3}$

$\frac{x^2 + 3x - (x^2 + 3x - 4)}{x^2 + 4x} = \frac{1}{3}$

$\frac{x^2 + 3x - x^2 - 3x + 4}{x^2 + 4x} = \frac{1}{3}$

После упрощения числителя получаем:

$\frac{4}{x^2 + 4x} = \frac{1}{3}$

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$1 \cdot (x^2 + 4x) = 4 \cdot 3$

$x^2 + 4x = 12$

Перенесем 12 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Мы получили два возможных значения для знаменателя дроби.

1. Если знаменатель $x = 2$, то числитель равен $x - 1 = 2 - 1 = 1$. Исходная дробь равна $\frac{1}{2}$.

2. Если знаменатель $x = -6$, то числитель равен $x - 1 = -6 - 1 = -7$. Исходная дробь равна $\frac{-7}{-6}$, что равно $\frac{7}{6}$. Однако для дроби $\frac{7}{6}$ не выполняется исходное условие "числитель на 1 меньше знаменателя" ($7 \neq 6-1$). Поэтому это решение не подходит.

Выполним проверку для найденного решения $\frac{1}{2}$:

Исходная дробь: $\frac{1}{2}$. Числитель 1 на 1 меньше знаменателя 2.

Увеличиваем числитель и знаменатель на 4: $\frac{1+4}{2+4} = \frac{5}{6}$.

Находим разность между новой и исходной дробью:

$\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Разность равна $\frac{1}{3}$, что соответствует условию задачи.

Ответ: $\frac{1}{2}$.