Номер 3, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Выполните вычитание:

1) $\frac{x-8}{4x^2} - \frac{5-12x}{6x^3}$;

2) $\frac{20}{a^2+4a} - \frac{5}{a}$;

3) $\frac{m^2}{m^2-9} - \frac{m}{m+3}$;

4) $2p - \frac{14p^2}{7p+3}$.

1) $\frac{x-8}{4x^2} - \frac{5-12x}{6x^3}$

Чтобы выполнить вычитание дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели данных дробей: $4x^2$ и $6x^3$.

Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Для числовых коэффициентов 4 и 6 наименьшее общее кратное (НОК) равно 12. Для переменных $x^2$ и $x^3$ выбираем переменную с наибольшим показателем степени, то есть $x^3$. Таким образом, НОЗ равен $12x^3$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель каждой дроби:

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{12x^3}{4x^2} = 3x$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{12x^3}{6x^3} = 2$.

Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{(x-8) \cdot 3x}{4x^2 \cdot 3x} - \frac{(5-12x) \cdot 2}{6x^3 \cdot 2} = \frac{3x(x-8)}{12x^3} - \frac{2(5-12x)}{12x^3}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, вычитая их числители:

$\frac{3x(x-8) - 2(5-12x)}{12x^3} = \frac{3x^2 - 24x - (10 - 24x)}{12x^3} = \frac{3x^2 - 24x - 10 + 24x}{12x^3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3x^2 - 10}{12x^3}$

Ответ: $\frac{3x^2 - 10}{12x^3}$

2) $\frac{20}{a^2 + 4a} - \frac{5}{a}$

Сначала упростим знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель за скобки: $a^2 + 4a = a(a+4)$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{20}{a(a+4)} - \frac{5}{a}$.

Наименьший общий знаменатель для знаменателей $a(a+4)$ и $a$ является $a(a+4)$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен 1, так как ее знаменатель уже совпадает с общим. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{a(a+4)}{a} = a+4$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{20}{a(a+4)} - \frac{5(a+4)}{a(a+4)} = \frac{20 - 5(a+4)}{a(a+4)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{20 - 5a - 20}{a(a+4)} = \frac{-5a}{a(a+4)}$

Сократим дробь на общий множитель $a$ (при условии, что $a \neq 0$):

$\frac{-5}{a+4}$

Ответ: $\frac{-5}{a+4}$

3) $\frac{m^2}{m^2 - 9} - \frac{m}{m+3}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$m^2 - 9 = m^2 - 3^2 = (m-3)(m+3)$.

Выражение принимает вид: $\frac{m^2}{(m-3)(m+3)} - \frac{m}{m+3}$.

Наименьшим общим знаменателем является выражение $(m-3)(m+3)$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен 1. Дополнительный множитель для второй дроби равен $m-3$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{m^2}{(m-3)(m+3)} - \frac{m(m-3)}{(m+3)(m-3)} = \frac{m^2 - m(m-3)}{(m-3)(m+3)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{m^2 - (m^2 - 3m)}{(m-3)(m+3)} = \frac{m^2 - m^2 + 3m}{(m-3)(m+3)} = \frac{3m}{(m-3)(m+3)}$

Знаменатель можно записать в исходном виде:

$\frac{3m}{m^2-9}$

Ответ: $\frac{3m}{m^2-9}$

4) $2p - \frac{14p^2}{7p+3}$

Представим первое слагаемое $2p$ в виде дроби со знаменателем 1: $\frac{2p}{1}$.

Получим выражение: $\frac{2p}{1} - \frac{14p^2}{7p+3}$.

Общий знаменатель для этих дробей равен $7p+3$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $7p+3$. Для второй дроби дополнительный множитель равен 1.

Приведем к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{2p(7p+3)}{7p+3} - \frac{14p^2}{7p+3} = \frac{2p(7p+3) - 14p^2}{7p+3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{14p^2 + 6p - 14p^2}{7p+3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{6p}{7p+3}$

Ответ: $\frac{6p}{7p+3}$