Номер 4, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Упростите выражение:

1) $\frac{y+3}{2y+2} - \frac{y+1}{2y-2} + \frac{3}{y^2-1}$;

2) $\frac{2b^2-b}{b^3+1} - \frac{b-1}{b^2-b+1}$.

1) $ \frac{y+3}{2y+2} - \frac{y+1}{2y-2} + \frac{3}{y^2-1} $

Для упрощения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $2y+2 = 2(y+1)$.

Знаменатель второй дроби: $2y-2 = 2(y-1)$.

Знаменатель третьей дроби: $y^2-1 = (y-1)(y+1)$ (по формуле разности квадратов).

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{y+3}{2(y+1)} - \frac{y+1}{2(y-1)} + \frac{3}{(y-1)(y+1)} $

Наименьший общий знаменатель для этих дробей — это $2(y+1)(y-1)$.

Приведем каждую дробь к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(y-1)$, для второй — $(y+1)$, для третьей — 2.

$ \frac{(y+3)(y-1)}{2(y+1)(y-1)} - \frac{(y+1)(y+1)}{2(y+1)(y-1)} + \frac{3 \cdot 2}{2(y+1)(y-1)} $

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним действия в числителе:

$ \frac{(y+3)(y-1) - (y+1)^2 + 6}{2(y+1)(y-1)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (y+3)(y-1) = y^2 - y + 3y - 3 = y^2 + 2y - 3 $

$ (y+1)^2 = y^2 + 2y + 1 $

Подставим раскрытые выражения обратно в числитель:

$ \frac{(y^2 + 2y - 3) - (y^2 + 2y + 1) + 6}{2(y+1)(y-1)} $

Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$ y^2 + 2y - 3 - y^2 - 2y - 1 + 6 = (y^2-y^2) + (2y-2y) + (-3-1+6) = 2 $

В результате получаем:

$ \frac{2}{2(y+1)(y-1)} $

Сократим дробь на 2:

$ \frac{1}{(y+1)(y-1)} = \frac{1}{y^2-1} $

Ответ: $ \frac{1}{y^2-1} $

2) $ \frac{2b^2-b}{b^3+1} - \frac{b-1}{b^2-b+1} $

Чтобы упростить это выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$ b^3+1 = b^3+1^3 = (b+1)(b^2-b \cdot 1+1^2) = (b+1)(b^2-b+1) $

Знаменатель второй дроби, $b^2-b+1$, уже является частью разложения первого знаменателя.

Перепишем исходное выражение:

$ \frac{2b^2-b}{(b+1)(b^2-b+1)} - \frac{b-1}{b^2-b+1} $

Общим знаменателем является $(b+1)(b^2-b+1)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $(b+1)$:

$ \frac{2b^2-b}{(b+1)(b^2-b+1)} - \frac{(b-1)(b+1)}{(b^2-b+1)(b+1)} $

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{2b^2-b - (b-1)(b+1)}{(b+1)(b^2-b+1)} $

В числителе применим формулу разности квадратов $(b-1)(b+1) = b^2-1$:

$ \frac{2b^2-b - (b^2-1)}{(b+1)(b^2-b+1)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ 2b^2-b - b^2 + 1 = b^2 - b + 1 $

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{b^2-b+1}{(b+1)(b^2-b+1)} $

Сократим дробь на общий множитель $(b^2-b+1)$:

$ \frac{1}{b+1} $

Ответ: $ \frac{1}{b+1} $