Номер 1, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Решите уравнение:

1) $ \frac{3x-7}{x-1} - \frac{x+1}{x-1} = 0; $

2) $ \frac{x}{x+5} - \frac{25}{x^2+5x} = 0. $

1) $\frac{3x - 7}{x - 1} - \frac{x + 1}{x - 1} = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x - 1 \neq 0$

$x \neq 1$

Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем объединить числители, выполнив вычитание:

$\frac{(3x - 7) - (x + 1)}{x - 1} = 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{3x - 7 - x - 1}{x - 1} = 0$

$\frac{2x - 8}{x - 1} = 0$

Дробное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:

$2x - 8 = 0$

$2x = 8$

$x = \frac{8}{2}$

$x = 4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \neq 1$). Так как $4 \neq 1$, корень является решением уравнения.

Ответ: $4$

2) $\frac{x}{x + 5} - \frac{25}{x^2 + 5x} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все знаменатели в уравнении должны быть отличны от нуля:

$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$

$x^2 + 5x \neq 0 \implies x(x + 5) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq -5$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -5$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель второй дроби на множители:

$x^2 + 5x = x(x+5)$

Видно, что общий знаменатель — это $x(x+5)$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $x$:

$\frac{x \cdot x}{x(x + 5)} - \frac{25}{x(x + 5)} = 0$

Теперь объединим дроби:

$\frac{x^2 - 25}{x(x + 5)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:

$x^2 - 25 = 0$

Это формула разности квадратов: $(x-5)(x+5) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два возможных корня:

$x - 5 = 0 \implies x_1 = 5$

$x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -5$).

Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль. Следовательно, $x = -5$ является посторонним корнем.

Таким образом, у уравнения есть только одно решение.

Ответ: $5$