Номер 3, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 2 - номер 3, страница 88.

Условие.

3. Докажите тождество:

$ \left( \frac{b^3}{b^2 - 8b + 16} - \frac{b^2}{b - 4} \right) : \left( \frac{b^2}{b^2 - 16} - \frac{b}{b - 4} \right) = \frac{b^2 + 4b}{4 - b} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, выполняя действия в скобках и затем деление.

1. Сначала упростим выражение в первой скобке: $ \frac{b^3}{b^2 - 8b + 16} - \frac{b^2}{b - 4} $.

Знаменатель первой дроби $ b^2 - 8b + 16 $ является полным квадратом разности: $ (b-4)^2 $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (b-4)^2 $:

$ \frac{b^3}{(b-4)^2} - \frac{b^2(b-4)}{(b-4)(b-4)} = \frac{b^3 - b^2(b-4)}{(b-4)^2} = \frac{b^3 - b^3 + 4b^2}{(b-4)^2} = \frac{4b^2}{(b-4)^2} $.

2. Теперь упростим выражение во второй скобке: $ \frac{b^2}{b^2 - 16} - \frac{b}{b - 4} $.

Знаменатель первой дроби $ b^2 - 16 $ разложим на множители по формуле разности квадратов: $ (b-4)(b+4) $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (b-4)(b+4) $:

$ \frac{b^2}{(b-4)(b+4)} - \frac{b(b+4)}{(b-4)(b+4)} = \frac{b^2 - b(b+4)}{(b-4)(b+4)} = \frac{b^2 - b^2 - 4b}{(b-4)(b+4)} = \frac{-4b}{(b-4)(b+4)} $.

3. Выполним деление результатов, полученных в шагах 1 и 2:

$ \frac{4b^2}{(b-4)^2} : \frac{-4b}{(b-4)(b+4)} $

Для деления на дробь умножим на обратную ей дробь и сократим:

$ \frac{4b^2}{(b-4)^2} \cdot \frac{(b-4)(b+4)}{-4b} = \frac{4b^2 \cdot (b-4)(b+4)}{(b-4)^2 \cdot (-4b)} = \frac{b \cdot (b+4)}{ (b-4) \cdot (-1)} $

Умножим знаменатель на -1, поменяв знаки:

$ \frac{b(b+4)}{-(b-4)} = \frac{b(b+4)}{4-b} = \frac{b^2+4b}{4-b} $

В результате преобразований левая часть тождества $ (\frac{b^3}{b^2 - 8b + 16} - \frac{b^2}{b - 4}) : (\frac{b^2}{b^2 - 16} - \frac{b}{b - 4}) $ стала равна $ \frac{b^2+4b}{4-b} $, что полностью совпадает с его правой частью.

Ответ: Тождество доказано.