Номер 5, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Контрольные работы. Вариант 1 - номер 5, страница 88.

Условие.

5. Найдите значение выражения:

1) $2^{-3} + 6^{-1};$

2) $\frac{7^{-8} \cdot 7^{-9}}{7^{-16}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления значения выражения $2^{-3} + 6^{-1}$ воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого числа $a \neq 0$ и целого положительного числа $n$.

Применим это правило к каждому слагаемому:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

$6^{-1} = \frac{1}{6^1} = \frac{1}{6}$

Теперь сложим полученные дроби:

$2^{-3} + 6^{-1} = \frac{1}{8} + \frac{1}{6}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 6 это 24.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{3+4}{24} = \frac{7}{24}$

Ответ: $\frac{7}{24}$

2) Для вычисления значения выражения $\frac{7^{-8} \cdot 7^{-9}}{7^{-16}}$ воспользуемся свойствами степеней:

1. Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

2. Деление степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Сначала упростим числитель дроби, применив правило умножения степеней:

$7^{-8} \cdot 7^{-9} = 7^{(-8) + (-9)} = 7^{-17}$

Теперь подставим полученное значение обратно в дробь:

$\frac{7^{-17}}{7^{-16}}$

Далее применим правило деления степеней:

$\frac{7^{-17}}{7^{-16}} = 7^{-17 - (-16)} = 7^{-17+16} = 7^{-1}$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$7^{-1} = \frac{1}{7^1} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$