Номер 6, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Преобразуйте выражение $(-\frac{4}{5}a^{-5}b^{-12})^{-3} \cdot (5a^9b^{17})^{-2}$ так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями.

Для преобразования данного выражения $ (\frac{-4}{5}a^{-5}b^{-12})^{-3} \cdot (5a^{9}b^{17})^{-2} $ выполним следующие действия по шагам.

1. Сначала раскроем скобки, возведя каждый множитель в соответствующую степень. Для этого воспользуемся свойствами степеней: $ (xyz)^n = x^n y^n z^n $ и $ (x^m)^n = x^{mn} $.

Рассмотрим первый множитель: $ (\frac{-4}{5}a^{-5}b^{-12})^{-3} $.
$ (\frac{-4}{5}a^{-5}b^{-12})^{-3} = (\frac{-4}{5})^{-3} \cdot (a^{-5})^{-3} \cdot (b^{-12})^{-3} $
Теперь вычислим значение каждого компонента:
$ (\frac{-4}{5})^{-3} = (\frac{5}{-4})^{3} = \frac{5^3}{(-4)^3} = \frac{125}{-64} = -\frac{125}{64} $
$ (a^{-5})^{-3} = a^{-5 \cdot (-3)} = a^{15} $
$ (b^{-12})^{-3} = b^{-12 \cdot (-3)} = b^{36} $
Таким образом, результат преобразования первого множителя: $ -\frac{125}{64}a^{15}b^{36} $.

Рассмотрим второй множитель: $ (5a^{9}b^{17})^{-2} $.
$ (5a^{9}b^{17})^{-2} = 5^{-2} \cdot (a^{9})^{-2} \cdot (b^{17})^{-2} $
Вычислим значение каждого компонента, используя свойство $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $:
$ 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} $
$ (a^{9})^{-2} = a^{9 \cdot (-2)} = a^{-18} $
$ (b^{17})^{-2} = b^{17 \cdot (-2)} = b^{-34} $
Таким образом, результат преобразования второго множителя: $ \frac{1}{25}a^{-18}b^{-34} $.

2. Теперь перемножим полученные выражения:
$ (-\frac{125}{64}a^{15}b^{36}) \cdot (\frac{1}{25}a^{-18}b^{-34}) $

3. Сгруппируем и перемножим отдельно коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются: $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $.
$ (-\frac{125}{64} \cdot \frac{1}{25}) \cdot (a^{15} \cdot a^{-18}) \cdot (b^{36} \cdot b^{-34}) $
Упростим каждую группу:
Коэффициенты: $ -\frac{125}{64 \cdot 25} = -\frac{5 \cdot 25}{64 \cdot 25} = -\frac{5}{64} $
Переменная $a$: $ a^{15 + (-18)} = a^{-3} $
Переменная $b$: $ b^{36 + (-34)} = b^{2} $

4. Объединим полученные результаты:
$ -\frac{5}{64}a^{-3}b^{2} $

5. Согласно условию задачи, итоговое выражение не должно содержать степеней с отрицательными показателями. Преобразуем член $ a^{-3} $, используя правило $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $:
$ a^{-3} = \frac{1}{a^3} $
Подставим это в наше выражение и получим окончательный вид:
$ -\frac{5}{64} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot b^{2} = -\frac{5b^2}{64a^3} $

Ответ: $ -\frac{5b^2}{64a^3} $