Номер 1, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Выполните действия:

1) $\frac{56x^3y^4}{z^5} \cdot \left(-\frac{z^4}{16x^2y^6}\right);$

2) $\frac{72a^7}{c^{10}} : (24a^3c^8);$

3) $\frac{3b-3c}{c} \cdot \frac{4c^2}{b^2-c^2};$

4) $\frac{6x-30}{x+8} : \frac{x^2-25}{2x+16}.$

1) Чтобы выполнить умножение дробей $\frac{56x^3y^4}{z^5} \cdot \left(-\frac{z^4}{16x^2y^6}\right)$, нужно перемножить их числители и знаменатели.
$\frac{56x^3y^4}{z^5} \cdot \left(-\frac{z^4}{16x^2y^6}\right) = -\frac{56x^3y^4z^4}{16x^2y^6z^5}$
Теперь сократим полученную дробь. Сначала сократим числовые коэффициенты 56 и 16 на их наибольший общий делитель, который равен 8:
$\frac{56}{16} = \frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{7}{2}$
Затем сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^3}{x^2} = x^{3-2} = x$
$\frac{y^4}{y^6} = y^{4-6} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$
$\frac{z^4}{z^5} = z^{4-5} = z^{-1} = \frac{1}{z}$
Собираем все части вместе, не забывая про знак "минус":
$-\frac{7x}{2y^2z}$
Ответ: $-\frac{7x}{2y^2z}$

2) Чтобы разделить дробь $\frac{72a^7}{c^{10}}$ на одночлен $(24a^3c^8)$, нужно представить деление как умножение на обратное выражение:
$\frac{72a^7}{c^{10}} : (24a^3c^8) = \frac{72a^7}{c^{10}} \cdot \frac{1}{24a^3c^8} = \frac{72a^7}{24a^3c^8c^{10}}$
Сократим коэффициенты:
$\frac{72}{24} = 3$
Упростим степени переменных:
$\frac{a^7}{a^3} = a^{7-3} = a^4$
В знаменателе, при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются: $c^8 \cdot c^{10} = c^{8+10} = c^{18}$.
Объединяем полученные результаты:
$\frac{3a^4}{c^{18}}$
Ответ: $\frac{3a^4}{c^{18}}$

3) Для выполнения умножения $\frac{3b-3c}{c} \cdot \frac{4c^2}{b^2-c^2}$ сначала разложим на множители выражения в числителях и знаменателях.
В числителе первой дроби вынесем общий множитель 3 за скобки: $3b-3c = 3(b-c)$.
В знаменателе второй дроби применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $b^2-c^2 = (b-c)(b+c)$.
Получаем следующее выражение:
$\frac{3(b-c)}{c} \cdot \frac{4c^2}{(b-c)(b+c)}$
Теперь перемножаем дроби и сокращаем общие множители $(b-c)$ и $c$:
$\frac{3(b-c) \cdot 4c^2}{c \cdot (b-c)(b+c)} = \frac{3 \cdot 4c}{b+c} = \frac{12c}{b+c}$
Ответ: $\frac{12c}{b+c}$

4) Чтобы выполнить деление дробей $\frac{6x-30}{x+8} : \frac{x^2-25}{2x+16}$, заменим деление на умножение на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{6x-30}{x+8} \cdot \frac{2x+16}{x^2-25}$
Теперь разложим на множители числители и знаменатели:
$6x-30 = 6(x-5)$
$2x+16 = 2(x+8)$
$x^2-25 = (x-5)(x+5)$ (формула разности квадратов)
Подставим разложенные выражения обратно в пример:
$\frac{6(x-5)}{x+8} \cdot \frac{2(x+8)}{(x-5)(x+5)}$
Умножим дроби и сократим общие множители $(x-5)$ и $(x+8)$:
$\frac{6(x-5) \cdot 2(x+8)}{(x+8)(x-5)(x+5)} = \frac{6 \cdot 2}{x+5} = \frac{12}{x+5}$
Ответ: $\frac{12}{x+5}$