Номер 125, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 125, страница 79.

Условие.

125. Решите уравнение:

1) $x^2 - 6x - 27 = 0$;

2) $x^2 - 8x + 15 = 0$;

3) $7y^2 - 4y - 3 = 0$;

4) $6p^2 - p - 2 = 0$;

5) $x^2 + 4x - 10 = 0$;

6) $4x^2 - 2x - 5 = 0$;

7) $64x^2 - 48x + 9 = 0$;

8) $x^2 - 12x + 40 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^2 - 6x - 27 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-6$, $c=-27$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: $-3; 9$.

2) $x^2 - 8x + 15 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1$, $b=-8$, $c=15$.
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$.
$D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$
(Также можно было воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна 8, а произведение 15, что дает корни 3 и 5).
Ответ: $3; 5$.

3) $7y^2 - 4y - 3 = 0$
Это квадратное уравнение относительно переменной $y$. Коэффициенты: $a=7$, $b=-4$, $c=-3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 16 + 84 = 100$.
$D > 0$, находим корни:
$y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{4 + 10}{14} = \frac{14}{14} = 1$
$y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{4 - 10}{14} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7}$
Ответ: $1; -\frac{3}{7}$.

4) $6p^2 - p - 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно переменной $p$. Коэффициенты: $a=6$, $b=-1$, $c=-2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$.
$D > 0$, находим корни:
$p_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
$p_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 7}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{2}{3}; -\frac{1}{2}$.

5) $x^2 + 4x - 10 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=-10$.
Так как коэффициент $b$ четный, можно использовать формулу для "упрощенного" дискриминанта $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$ и корней $x_{1,2} = \frac{-b/2 \pm \sqrt{D_1}}{a}$.
$k = \frac{b}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$D_1 = 2^2 - 1 \cdot (-10) = 4 + 10 = 14$.
$D_1 > 0$, корни равны:
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{14}}{1} = -2 \pm \sqrt{14}$
Ответ: $-2 - \sqrt{14}; -2 + \sqrt{14}$.

6) $4x^2 - 2x - 5 = 0$
Коэффициенты: $a=4$, $b=-2$, $c=-5$.
Коэффициент $b$ четный, используем формулу с $D_1$.
$k = \frac{b}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
$D_1 = k^2 - ac = (-1)^2 - 4 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$.
$D_1 > 0$, корни равны:
$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{21}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{4}$
Ответ: $\frac{1 - \sqrt{21}}{4}; \frac{1 + \sqrt{21}}{4}$.

7) $64x^2 - 48x + 9 = 0$
Это уравнение можно решить, заметив, что левая часть является полным квадратом разности.
$64x^2 = (8x)^2$, $9 = 3^2$, а $48x = 2 \cdot (8x) \cdot 3$.
Следовательно, уравнение можно переписать в виде:
$(8x - 3)^2 = 0$
$8x - 3 = 0$
$8x = 3$
$x = \frac{3}{8}$
Проверим через дискриминант: $a=64, b=-48, c=9$.
$D = (-48)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 9 = 2304 - 2304 = 0$.
Так как $D=0$, уравнение имеет один корень: $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-48)}{2 \cdot 64} = \frac{48}{128} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$.

8) $x^2 - 12x + 40 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=-12$, $c=40$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 144 - 160 = -16$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.