Номер 121, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3 - номер 121, страница 79.

Условие.

121. Решите уравнение:

1) $2x^2 - 50 = 0;$

2) $x^2 + 10x = 0;$

3) $6x^2 - 30 = 0;$

4) $6x^2 - 42x = 0;$

5) $25x^2 - 81 = 0;$

6) $x^2 + 100 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$.
Исходное уравнение: $2x^2 - 50 = 0$.
Перенесем свободный член (-50) в правую часть уравнения, изменив его знак:
$2x^2 = 50$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 2:
$x^2 = \frac{50}{2}$
$x^2 = 25$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:
$x = \pm\sqrt{25}$
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$
Ответ: $x = \pm 5$.

2) Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$.
Исходное уравнение: $x^2 + 10x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 10) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $x + 10 = 0$
Из второго уравнения находим второй корень:
$x = -10$
Следовательно, уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -10$.

3) Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$.
Исходное уравнение: $6x^2 - 30 = 0$.
Перенесем свободный член (-30) в правую часть уравнения:
$6x^2 = 30$
Разделим обе части уравнения на 6:
$x^2 = \frac{30}{6}$
$x^2 = 5$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{5}$
Ответ: $x = \pm\sqrt{5}$.

4) Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$.
Исходное уравнение: $6x^2 - 42x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $6x^2$ и $42x$ является $6x$:
$6x(x - 7) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$6x = 0$ или $x - 7 = 0$
Решаем каждое из этих простых уравнений:
$x = 0$ или $x = 7$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 7$.

5) Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$.
Исходное уравнение: $25x^2 - 81 = 0$.
Это уравнение можно решить, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим $25x^2$ как $(5x)^2$ и $81$ как $9^2$:
$(5x)^2 - 9^2 = 0$
$(5x - 9)(5x + 9) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$5x - 9 = 0$ или $5x + 9 = 0$
$5x = 9$ или $5x = -9$
$x = \frac{9}{5}$ или $x = -\frac{9}{5}$
Можно записать результат как $x = \pm 1.8$ или $x = \pm \frac{9}{5}$.
Ответ: $x = \pm\frac{9}{5}$.

6) Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$.
Исходное уравнение: $x^2 + 100 = 0$.
Перенесем свободный член (100) в правую часть уравнения:
$x^2 = -100$
Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. В правой части уравнения стоит отрицательное число (-100). Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: корней нет.