Номер 115, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 3 - 2x$ и определите координаты точек их пересечения.

Построение графиков функций

Для решения задачи необходимо построить графики двух функций в одной декартовой системе координат.

1. График функции $y = \sqrt{x}$
Это стандартная функция квадратного корня. Ее график — ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Область определения: $x \ge 0$.Для построения найдем несколько ключевых точек:
- при $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$; точка (0, 0).
- при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$; точка (1, 1).
- при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$; точка (4, 2).
Соединяем эти точки плавной кривой.

2. График функции $y = 3 - 2x$
Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти две любые точки. Удобнее всего найти точки пересечения с осями координат:
- при $x=0$, $y = 3 - 2(0) = 3$; точка (0, 3).
- при $y=0$, $0 = 3 - 2x \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$; точка (1.5, 0).
Проводим прямую через точки (0, 3) и (1.5, 0).

Ответ: Графики функций построены. График $y=\sqrt{x}$ — ветвь параболы, выходящая из начала координат. График $y=3-2x$ — прямая, проходящая через точки (0, 3) и (1.5, 0).

Определение координат точки их пересечения

Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений данных функций. Для этого приравняем их правые части:$$ \sqrt{x} = 3 - 2x $$

Перед решением определим область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Во-вторых, результат извлечения арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому $3 - 2x \ge 0$, откуда $2x \le 3$, или $x \le 1.5$. Таким образом, корень уравнения должен лежать в промежутке $0 \le x \le 1.5$.

Теперь решим уравнение, возведя обе части в квадрат:$$ (\sqrt{x})^2 = (3 - 2x)^2 $$$$ x = 9 - 12x + 4x^2 $$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$$ 4x^2 - 13x + 9 = 0 $$Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$$ D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 - 144 = 25 $$Найдем корни уравнения:$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{13 \pm 5}{8} $$Получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = \frac{13 + 5}{8} = \frac{18}{8} = 2.25$
$x_2 = \frac{13 - 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($0 \le x \le 1.5$).
- Корень $x_1 = 2.25$ не удовлетворяет условию $x \le 1.5$, следовательно, это посторонний корень, который появился в результате возведения в квадрат.
- Корень $x_2 = 1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \le 1 \le 1.5$.

Следовательно, абсцисса точки пересечения равна $x=1$. Для нахождения ординаты подставим это значение в любое из исходных уравнений, например, в $y = \sqrt{x}$:$$ y = \sqrt{1} = 1 $$Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты (1, 1).

Ответ: (1, 1).