Номер 7, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Вычислите:

1) $(27 \cdot 3^{-6})^2 \cdot (9^{-1})^{-2}$,

2) $\frac{(-64)^{-4} \cdot 8^3}{16^{-3}}$.

1) $(27 \cdot 3^{-6})^2 \cdot (9^{-1})^{-2}$

Для решения данного выражения необходимо использовать свойства степеней. Сначала приведем все числа к одному основанию - 3.
Число 27 можно представить как $3^3$.
Число 9 можно представить как $3^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(3^3 \cdot 3^{-6})^2 \cdot ((3^2)^{-1})^{-2}$
Теперь воспользуемся свойствами степеней:
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$3^3 \cdot 3^{-6} = 3^{3+(-6)} = 3^{-3}$
2. При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(3^{-3})^2 = 3^{-3 \cdot 2} = 3^{-6}$
$((3^2)^{-1})^{-2} = (3^{2 \cdot (-1)})^{-2} = (3^{-2})^{-2} = 3^{(-2) \cdot (-2)} = 3^4$
Теперь исходное выражение выглядит так:
$3^{-6} \cdot 3^4$
Снова применяем правило сложения показателей:
$3^{-6} \cdot 3^4 = 3^{-6+4} = 3^{-2}$
Используем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

2) $\frac{(-64)^{-4} \cdot 8^3}{16^{-3}}$

Упростим выражение, используя свойства степеней. Сначала приведем все основания к степени числа 2.
Так как показатель степени $(-4)$ у числа $(-64)$ четный, то минус можно опустить: $(-64)^{-4} = 64^{-4}$.
$64 = 2^6$
$8 = 2^3$
$16 = 2^4$
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(2^6)^{-4} \cdot (2^3)^3}{(2^4)^{-3}}$
Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для числителя и знаменателя:
$(2^6)^{-4} = 2^{6 \cdot (-4)} = 2^{-24}$
$(2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9$
$(2^4)^{-3} = 2^{4 \cdot (-3)} = 2^{-12}$
Выражение принимает вид:
$\frac{2^{-24} \cdot 2^9}{2^{-12}}$
В числителе применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^{-24} \cdot 2^9 = 2^{-24+9} = 2^{-15}$
Получаем дробь:
$\frac{2^{-15}}{2^{-12}}$
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{-15 - (-12)} = 2^{-15+12} = 2^{-3}$
Используем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$