Номер 9, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 9, страница 94.

Условие.

9. Порядок числа x равен -3, а порядок числа y равен 2.

Каким может быть порядок значения выражения:

1) $xy$;

2) $100x + y$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Порядок числа — это степень десятки в стандартной записи этого числа. Если порядок числа $x$ равен -3, то $x$ можно представить в виде $x = a \cdot 10^{-3}$, где $1 \le |a| < 10$. Аналогично, если порядок числа $y$ равен 2, то $y = b \cdot 10^{2}$, где $1 \le |b| < 10$.

1) xy;

Найдем произведение $xy$:

$xy = (a \cdot 10^{-3}) \cdot (b \cdot 10^{2}) = (a \cdot b) \cdot 10^{-3+2} = (a \cdot b) \cdot 10^{-1}$

Новое число имеет мантиссу $a \cdot b$ и множитель $10^{-1}$. Чтобы определить порядок, нужно привести число к стандартному виду, где мантисса $m$ удовлетворяет условию $1 \le |m| < 10$.

Рассмотрим диапазон значений для $a \cdot b$. Так как $1 \le |a| < 10$ и $1 \le |b| < 10$, то $1 \le |a \cdot b| < 100$.

Возможны два случая:

Случай 1: $1 \le |a \cdot b| < 10$.
В этом случае число $(a \cdot b) \cdot 10^{-1}$ уже записано в стандартном виде. Его порядок равен $-1$.
Пример: Пусть $x = 2 \cdot 10^{-3}$ и $y = 3 \cdot 10^{2}$. Тогда $xy = 6 \cdot 10^{-1}$. Порядок равен $-1$.

Случай 2: $10 \le |a \cdot b| < 100$.
В этом случае мантисса $a \cdot b$ не удовлетворяет условию стандартного вида. Мы должны ее преобразовать. Пусть $a \cdot b = c \cdot 10^1$, где $1 \le |c| < 10$.
Тогда $xy = (c \cdot 10^1) \cdot 10^{-1} = c \cdot 10^{1-1} = c \cdot 10^0$.
Порядок числа в этом случае равен $0$.
Пример: Пусть $x = 4 \cdot 10^{-3}$ и $y = 5 \cdot 10^{2}$. Тогда $xy = 20 \cdot 10^{-1}$. Приводим к стандартному виду: $20 \cdot 10^{-1} = (2 \cdot 10^1) \cdot 10^{-1} = 2 \cdot 10^0$. Порядок равен $0$.

Ответ: Порядок выражения $xy$ может быть равен $-1$ или $0$.

2) 100x + y?

Найдем значение выражения $100x + y$.

Сначала преобразуем $100x$:
$100x = 10^2 \cdot x = 10^2 \cdot (a \cdot 10^{-3}) = a \cdot 10^{2-3} = a \cdot 10^{-1}$.
Поскольку $1 \le |a| < 10$, то $0.1 \le |100x| < 1$.

Второе слагаемое $y = b \cdot 10^2$.
Поскольку $1 \le |b| < 10$, то $100 \le |y| < 1000$.

Мы складываем число $y$, модуль которого находится в диапазоне $[100, 1000)$, и число $100x$, модуль которого находится в диапазоне $[0.1, 1)$. Так как $|y|$ значительно больше $|100x|$, порядок суммы, как правило, будет равен порядку большего слагаемого, то есть 2.

Однако сложение может привести к изменению порядка, если сумма переходит через границу степени десятки (например, становится меньше 100 или больше либо равна 1000).

Рассмотрим возможные значения суммы $S = 100x + y$. Модуль суммы $|S|$ будет находиться в пределах:
$|y| - |100x| \le |S| \le |y| + |100x|$.
$100 - 1 < |S| < 1000 + 1$, то есть $99 < |S| < 1001$.

Рассмотрим, какие порядки могут быть у чисел в этом интервале:

Случай 1: Порядок 1. Это возможно, если $99 < |S| < 100$.
Пример: Пусть $y = 1 \cdot 10^2 = 100$ (здесь $b=1$) и $x = -5 \cdot 10^{-3}$ (здесь $a=-5$). Оба числа удовлетворяют условиям.
$100x = -0.5$.
$100x + y = -0.5 + 100 = 99.5$.
В стандартной форме: $99.5 = 9.95 \cdot 10^1$. Порядок равен $1$.

Случай 2: Порядок 2. Это основной случай, когда $100 \le |S| < 1000$.
Пример: Пусть $y = 2 \cdot 10^2 = 200$ и $x = 3 \cdot 10^{-3}$.
$100x = 0.3$.
$100x + y = 0.3 + 200 = 200.3$.
В стандартной форме: $200.3 = 2.003 \cdot 10^2$. Порядок равен $2$.

Случай 3: Порядок 3. Это возможно, если $1000 \le |S| < 1001$.
Пример: Пусть $y = 9.995 \cdot 10^2 = 999.5$ (здесь $b=9.995$) и $x = 5 \cdot 10^{-3}$ (здесь $a=5$).
$100x = 0.5$.
$100x + y = 0.5 + 999.5 = 1000$.
В стандартной форме: $1000 = 1 \cdot 10^3$. Порядок равен $3$.

Ответ: Порядок выражения $100x + y$ может быть равен $1$, $2$ или $3$.