Номер 6, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 6, страница 94.

Условие.

6. Сократите дробь:

1) $\frac{a - 64}{\sqrt{a} - 8}$;

2) $\frac{\sqrt{11} - 11}{\sqrt{11}}$;

3) $\frac{a - 5}{a + 2\sqrt{5a} + 5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{a-64}{\sqrt{a}-8} $, представим числитель в виде разности квадратов. Учитывая, что $ a = (\sqrt{a})^2 $ и $ 64 = 8^2 $, мы можем использовать формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $.

Числитель $ a - 64 $ можно записать как $ (\sqrt{a})^2 - 8^2 = (\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}+8) $.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$ \frac{(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}+8)}{\sqrt{a}-8} $

Сокращаем общий множитель $ (\sqrt{a}-8) $ в числителе и знаменателе. При этом область допустимых значений переменной $ a $ определяется условиями $ a \ge 0 $ и $ \sqrt{a} - 8 \ne 0 $, то есть $ a \ne 64 $.

В результате получаем: $ \sqrt{a}+8 $.

Ответ: $ \sqrt{a}+8 $.

2) Для сокращения дроби $ \frac{\sqrt{11}-11}{\sqrt{11}} $ вынесем в числителе общий множитель $ \sqrt{11} $ за скобки. Заметим, что $ 11 = (\sqrt{11})^2 $.

Тогда числитель примет вид: $ \sqrt{11} - (\sqrt{11})^2 = \sqrt{11}(1-\sqrt{11}) $.

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$ \frac{\sqrt{11}(1-\sqrt{11})}{\sqrt{11}} $

Сокращаем $ \sqrt{11} $ в числителе и знаменателе.

Получаем: $ 1-\sqrt{11} $.

Ответ: $ 1-\sqrt{11} $.

3) Рассмотрим дробь $ \frac{a-5}{a+2\sqrt{5a}+5} $. Преобразуем числитель и знаменатель. Область допустимых значений: $ a \ge 0 $.

Числитель $ a-5 $ можно представить как разность квадратов, так как $ a = (\sqrt{a})^2 $ и $ 5 = (\sqrt{5})^2 $.

$ a-5 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{5})(\sqrt{a}+\sqrt{5}) $.

Знаменатель $ a+2\sqrt{5a}+5 $ является полным квадратом суммы. Проверим это, используя формулу $ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $.

Пусть $ x = \sqrt{a} $ и $ y = \sqrt{5} $. Тогда $ x^2 = a $, $ y^2 = 5 $ и $ 2xy = 2\sqrt{a}\sqrt{5} = 2\sqrt{5a} $.

Следовательно, знаменатель можно записать как $ (\sqrt{a}+\sqrt{5})^2 $.

Теперь подставим преобразованные выражения в дробь:

$ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{5})(\sqrt{a}+\sqrt{5})}{(\sqrt{a}+\sqrt{5})^2} $

Сокращаем общий множитель $ (\sqrt{a}+\sqrt{5}) $. Так как $ a \ge 0 $, то $ \sqrt{a}+\sqrt{5} > 0 $, поэтому знаменатель никогда не равен нулю.

В результате получаем: $ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{5}}{\sqrt{a}+\sqrt{5}} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{5}}{\sqrt{a}+\sqrt{5}} $.