Номер 7, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{8}{3\sqrt{2}};$

2) $\frac{4}{\sqrt{13}-3}.$

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{8}{3\sqrt{2}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на иррациональную часть знаменателя, то есть на $\sqrt{2}$. Это действие основано на свойстве, что при умножении дроби на 1 (в данном случае на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$) ее значение не изменяется.

Выполним умножение:

$\frac{8}{3\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{8\sqrt{2}}{6}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:

$\frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

В итоге мы получили дробь с рациональным знаменателем.

Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

2) В знаменателе дроби $\frac{4}{\sqrt{13}-3}$ находится выражение, являющееся разностью. Чтобы избавиться от иррациональности в таком случае, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю. Сопряженным для выражения $\sqrt{a}-b$ является $\sqrt{a}+b$. Таким образом, мы умножаем дробь на $\frac{\sqrt{13}+3}{\sqrt{13}+3}$. В знаменателе при этом мы используем формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Выполним умножение:

$\frac{4}{\sqrt{13}-3} = \frac{4 \cdot (\sqrt{13}+3)}{(\sqrt{13}-3) \cdot (\sqrt{13}+3)}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{13}-3)(\sqrt{13}+3) = (\sqrt{13})^2 - 3^2 = 13 - 9 = 4$

Подставим полученное значение знаменателя обратно в дробь:

$\frac{4(\sqrt{13}+3)}{4}$

Теперь можно сократить дробь на 4:

$\frac{4(\sqrt{13}+3)}{4} = \sqrt{13}+3$

Таким образом, мы избавились от иррациональности в знаменателе.

Ответ: $\sqrt{13}+3$