Номер 3, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 3, страница 95.

Условие.

3. Диагональ прямоугольника на 6 см больше одной из сторон и на 3 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$.

Согласно условию задачи, диагональ на 6 см больше одной из сторон и на 3 см больше другой. Это можно записать в виде системы уравнений:
$d = a + 6$
$d = b + 3$

Выразим стороны $a$ и $b$ через диагональ $d$:
$a = d - 6$
$b = d - 3$

В прямоугольнике диагональ и две смежные стороны образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон:
$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим выражения для $a$ и $b$ в это уравнение:
$(d - 6)^2 + (d - 3)^2 = d^2$

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно $d$. Раскроем скобки:
$(d^2 - 12d + 36) + (d^2 - 6d + 9) = d^2$
Приведем подобные слагаемые:
$2d^2 - 18d + 45 = d^2$
$d^2 - 18d + 45 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 18, а их произведение равно 45. Подбором находим корни: $d_1 = 15$ и $d_2 = 3$.
Проверим оба корня:
1. Если $d = 15$ см, то стороны равны:
$a = d - 6 = 15 - 6 = 9$ см
$b = d - 3 = 15 - 3 = 12$ см
Так как длины сторон положительны, это решение подходит.
2. Если $d = 3$ см, то одна из сторон:
$a = d - 6 = 3 - 6 = -3$ см
Длина стороны не может быть отрицательной, следовательно, это значение $d$ не является решением задачи.

Таким образом, единственное подходящее решение дает нам стороны прямоугольника 9 см и 12 см.
Ответ: 9 см и 12 см.