Номер 2, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 2, страница 95.

Условие.

2. Решите уравнение:

1) $x^4 - 35x^2 - 36 = 0$;

2) $\frac{x^2 - 7x}{x + 2} = \frac{18}{x + 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^4 - 35x^2 - 36 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 35t - 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 1225 + 144 = 1369$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1369} = 37$.

Теперь найдем корни уравнения для $t$ по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{35 + 37}{2 \cdot 1} = \frac{72}{2} = 36$

$t_2 = \frac{35 - 37}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь необходимо выполнить обратную замену. Проверим найденные значения $t$ на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним и не дает действительных решений для $x$.

Рассмотрим корень $t_1 = 36$:

$x^2 = 36$

Из этого уравнения получаем два корня:

$x_1 = \sqrt{36} = 6$

$x_2 = -\sqrt{36} = -6$

Ответ: -6; 6.

2) $\frac{x^2 - 7x}{x+2} = \frac{18}{x+2}$

Это рациональное уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x + 2 \neq 0$

$x \neq -2$

На ОДЗ мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель $(x+2)$, чтобы избавиться от дробей. Это равносильно приравниванию числителей:

$x^2 - 7x = 18$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 7x - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-(-7) + 11}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-(-7) - 11}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -2$).

Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию $9 \neq -2$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x = -2$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, $x = -2$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 9.