Номер 4, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 6 - номер 4, страница 96.

Условие.

4. Решите уравнение:

$\frac{10}{x^2 - 100} + \frac{x - 20}{x^2 + 10x} - \frac{5}{x^2 - 10x} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данного дробно-рационального уравнения необходимо привести все дроби к общему знаменателю и решить полученное уравнение. Исходное уравнение:

$ \frac{10}{x^2 - 100} + \frac{x - 20}{x^2 + 10x} - \frac{5}{x^2 - 10x} = 0 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$x^2 - 100 \neq 0 \Rightarrow (x-10)(x+10) \neq 0 \Rightarrow x \neq 10 \text{ и } x \neq -10$

$x^2 + 10x \neq 0 \Rightarrow x(x+10) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \text{ и } x \neq -10$

$x^2 - 10x \neq 0 \Rightarrow x(x-10) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \text{ и } x \neq 10$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq -10, x \neq 0, x \neq 10$.

2. Разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{10}{(x-10)(x+10)} + \frac{x-20}{x(x+10)} - \frac{5}{x(x-10)} = 0 $

Общий знаменатель: $x(x-10)(x+10)$. Умножим числитель каждой дроби на недостающий множитель:

$ \frac{10 \cdot x}{x(x-10)(x+10)} + \frac{(x-20)(x-10)}{x(x-10)(x+10)} - \frac{5(x+10)}{x(x-10)(x+10)} = 0 $

3. Решим уравнение, приравняв числитель к нулю.

$10x + (x-20)(x-10) - 5(x+10) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$10x + (x^2 - 10x - 20x + 200) - 5x - 50 = 0$

$10x + x^2 - 30x + 200 - 5x - 50 = 0$

$x^2 + (10 - 30 - 5)x + (200 - 50) = 0$

$x^2 - 25x + 150 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 625 - 600 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{25+5}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{25-5}{2} = \frac{20}{2} = 10$

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет ОДЗ ($15 \neq -10, 15 \neq 0, 15 \neq 10$).

Корень $x_2 = 10$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=10$ знаменатели дробей $\frac{10}{x^2-100}$ и $\frac{5}{x^2-10x}$ обращаются в ноль. Следовательно, $x=10$ является посторонним корнем.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: 15