Номер 5, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 5, страница 96.

Условие.

5. Первый автомобиль проезжает расстояние, равное 300 км, на 1 ч быстрее, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем переменные. Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Поскольку скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше, то его скорость будет равна $(x + 10)$ км/ч.

Время, необходимое для преодоления расстояния в 300 км, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время второго автомобиля: $t_2 = \frac{300}{x}$ ч.

Время первого автомобиля: $t_1 = \frac{300}{x+10}$ ч.

По условию, первый автомобиль проезжает расстояние на 1 час быстрее, чем второй. Это означает, что разница во времени их движения составляет 1 час:

$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для времени в это уравнение:

$\frac{300}{x} - \frac{300}{x+10} = 1$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+10)$. При этом учтем, что скорость $x$ не может быть равна нулю или -10, что и так следует из физического смысла величины.

$\frac{300(x+10) - 300x}{x(x+10)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{300x + 3000 - 300x}{x^2 + 10x} = 1$

$\frac{3000}{x^2 + 10x} = 1$

Из этого следует:

$x^2 + 10x = 3000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$x^2 + 10x - 3000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 - \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

$x_2 = \frac{-10 + \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

Поскольку скорость автомобиля не может быть отрицательной, корень $x_1 = -60$ не подходит по условию задачи. Таким образом, скорость второго автомобиля $x = 50$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля:

$x + 10 = 50 + 10 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля составляет 60 км/ч, а скорость второго автомобиля — 50 км/ч.