Номер 6, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Первый насос наполнил водой бассейн объёмом $360 \text{ м}^3$, а второй — объёмом $480 \text{ м}^3$. Первый насос перекачивал на $10 \text{ м}^3$ воды в час меньше, чем второй, и работал на $2 \text{ ч}$ больше второго. Какой объём воды перекачивал за $1 \text{ ч}$ каждый насос?

Для решения задачи введем переменную. Пусть производительность второго насоса равна $x$ м³/ч. Исходя из условия, что первый насос перекачивал на 10 м³ воды в час меньше, чем второй, его производительность составляет $(x - 10)$ м³/ч.

Время, которое потребовалось первому насосу для перекачки 360 м³ воды, равно $t_1 = \frac{360}{x - 10}$ часов.

Время, которое потребовалось второму насосу для перекачки 480 м³ воды, равно $t_2 = \frac{480}{x}$ часов.

По условию задачи, первый насос работал на 2 часа дольше второго. На основе этого составим уравнение:

$t_1 - t_2 = 2$

$\frac{360}{x - 10} - \frac{480}{x} = 2$

Для решения этого уравнения определим область допустимых значений. Так как производительность насоса — величина положительная, то $x > 0$ и $x - 10 > 0$, откуда следует, что $x > 10$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x - 10)$:

$\frac{360x - 480(x - 10)}{x(x - 10)} = 2$

$\frac{360x - 480x + 4800}{x^2 - 10x} = 2$

$\frac{4800 - 120x}{x^2 - 10x} = 2$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 - 10x$ (который не равен нулю в области допустимых значений):

$4800 - 120x = 2(x^2 - 10x)$

$4800 - 120x = 2x^2 - 20x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 20x + 120x - 4800 = 0$

$2x^2 + 100x - 4800 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$x^2 + 50x - 2400 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 2500 + 9600 = 12100$

$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-50 + 110}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-50 - 110}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Корень $x_2 = -80$ не удовлетворяет условию задачи, так как производительность насоса не может быть отрицательной. Следовательно, производительность второго насоса равна $x = 30$ м³/ч. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($x > 10$).

Теперь найдем производительность первого насоса:

$x - 10 = 30 - 10 = 20$ м³/ч.

Выполним проверку.Время работы первого насоса: $t_1 = \frac{360}{20} = 18$ часов.Время работы второго насоса: $t_2 = \frac{480}{30} = 16$ часов.Разница во времени работы: $18 - 16 = 2$ часа, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: первый насос перекачивал 20 м³ воды в час, а второй насос — 30 м³ воды в час.