Номер 7, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 7, страница 96.

Условие.

7. Постройте график функции $y = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } 0 \leq x \leq 1, \\ x^2, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения графика данной кусочно-заданной функции необходимо рассмотреть каждый ее участок отдельно, а затем объединить их на одной координатной плоскости.

1. Построение графика функции $y = \sqrt{x}$ при $0 \le x \le 1$

На отрезке $[0, 1]$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это часть стандартной функции квадратного корня. График представляет собой ветвь параболы, "лежащей на боку". Составим таблицу значений для ключевых точек этого отрезка:

• При $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка $(0,0)$.
• При $x=0.25$, $y=\sqrt{0.25}=0.5$. Точка $(0.25, 0.5)$.
• При $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка $(1,1)$.

Так как неравенство $0 \le x \le 1$ нестрогое, обе граничные точки $(0,0)$ и $(1,1)$ принадлежат графику и отмечаются закрашенными кружками.

2. Построение графика функции $y = x^2$ при $x > 1$

На интервале $(1, +\infty)$ строим график функции $y = x^2$. Это часть стандартной параболы, ветви которой направлены вверх. Составим таблицу значений для нескольких точек этого промежутка:

• Найдем значение на границе промежутка: при $x=1$, $y=1^2=1$. Точка $(1,1)$ является начальной точкой для этого участка. Поскольку неравенство строгое ($x > 1$), сама точка $(1,1)$ не принадлежит данному участку и должна быть отмечена "выколотой" (незакрашенным кружком).
• При $x=1.5$, $y=(1.5)^2=2.25$. Точка $(1.5, 2.25)$.
• При $x=2$, $y=2^2=4$. Точка $(2,4)$.

График на этом промежутке представляет собой кривую, которая начинается от точки $(1,1)$ и уходит вверх, становясь все круче.

3. Объединение частей и итоговый график

Теперь необходимо совместить обе части на одной координатной плоскости. Первая часть графика, $y=\sqrt{x}$, заканчивается в точке $(1,1)$, и эта точка включена в график. Вторая часть, $y=x^2$, начинается из той же точки $(1,1)$.

Проверим непрерывность функции в точке "стыковки" $x=1$:
Значение функции слева (по первой формуле): $y(1) = \sqrt{1} = 1$.
Предел функции справа (по второй формуле): $\lim_{x\to1^+} x^2 = 1^2 = 1$.
Поскольку значение функции в точке $x=1$ совпадает с ее пределом справа, функция является непрерывной в этой точке. Это означает, что "выколотая" точка начала второго участка "закрывается" конечной точкой первого участка. В результате получается единая непрерывная линия без разрывов.

Итоговый график начинается в начале координат $(0,0)$, плавно поднимается по кривой $y=\sqrt{x}$ до точки $(1,1)$, а затем из этой точки продолжает свой рост вверх по кривой $y=x^2$ для всех $x>1$.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную кривую, состоящую из двух соединенных частей: участка графика $y=\sqrt{x}$ на отрезке $[0,1]$ и участка параболы $y=x^2$ на луче $(1, +\infty)$. Точкой соединения является точка с координатами $(1,1)$.