Номер 1, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 1, страница 95.

Условие.

1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 4x - 32$;

2) $4x^2 - 15x + 9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $x^2 - 4x - 32$, приравняем его к нулю и найдём корни полученного квадратного уравнения:

$x^2 - 4x - 32 = 0$

Для решения уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты данного уравнения: $a = 1, b = -4, c = -32$.

Найдём дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Теперь воспользуемся формулой разложения квадратного трёхчлена на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Подставим наши значения:

$x^2 - 4x - 32 = 1 \cdot (x - (-4))(x - 8) = (x + 4)(x - 8)$

Ответ: $(x + 4)(x - 8)$.

2) Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $4x^2 - 15x + 9$, приравняем его к нулю и найдём корни полученного квадратного уравнения:

$4x^2 - 15x + 9 = 0$

Коэффициенты данного уравнения: $a = 4, b = -15, c = 9$.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-15) - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{15 - 9}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{-(-15) + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{15 + 9}{8} = \frac{24}{8} = 3$

Теперь воспользуемся формулой разложения квадратного трёхчлена на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Подставим наши значения:

$4x^2 - 15x + 9 = 4(x - \frac{3}{4})(x - 3)$

Внесём множитель 4 в первую скобку, чтобы избавиться от дроби:

$4(x - \frac{3}{4})(x - 3) = (4 \cdot x - 4 \cdot \frac{3}{4})(x - 3) = (4x - 3)(x - 3)$

Ответ: $(4x - 3)(x - 3)$.