Номер 1, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5. Контрольные работы. Вариант 2 - номер 1, страница 95.

Условие.

1. Решите уравнение:

1) $4x^2 - 20 = 0;$

2) $3x^2 + 5x = 0;$

3) $x^2 - 5x - 24 = 0;$

4) $7x^2 - 22x + 3 = 0;$

5) $7x^2 - 6x + 2 = 0;$

6) $4x^2 + 12x + 9 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $4x^2 - 20 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения перенесем свободный член (-20) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$4x^2 = 20$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 4:

$x^2 = \frac{20}{4}$

$x^2 = 5$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x_{1,2} = \pm\sqrt{5}$

Ответ: $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$

2) $3x^2 + 5x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует свободный член. Для решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x + 5) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:

1. $x = 0$

2. $3x + 5 = 0$

Решим второе линейное уравнение:

$3x = -5$

$x = -\frac{5}{3}$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; -\frac{5}{3}$

3) $x^2 - 5x - 24 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Его коэффициенты: $a=1, b=-5, c=-24$.

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим значения коэффициентов:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Вычислим первый корень:

$x_1 = \frac{-(-5) + 11}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Вычислим второй корень:

$x_2 = \frac{-(-5) - 11}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $8; -3$

4) $7x^2 - 22x + 3 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=7, b=-22, c=3$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 484 - 84 = 400$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-22) + 20}{2 \cdot 7} = \frac{22 + 20}{14} = \frac{42}{14} = 3$

$x_2 = \frac{-(-22) - 20}{2 \cdot 7} = \frac{22 - 20}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

Ответ: $3; \frac{1}{7}$

5) $7x^2 - 6x + 2 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=7, b=-6, c=2$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 36 - 56 = -20$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

6) $4x^2 + 12x + 9 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=4, b=12, c=9$.

Способ 1: Использование формулы квадрата суммы.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$:

$4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x+3)^2$

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(2x+3)^2 = 0$

Это равенство выполняется только тогда, когда основание степени равно нулю:

$2x+3 = 0$

$2x = -3$

$x = -\frac{3}{2}$

Способ 2: Решение через дискриминант.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$

Поскольку $D=0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня), который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-12}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $-\frac{3}{2}$