Номер 12, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 12, страница 126.

Условие.

12. К бассейну подведены две трубы, подающая воду и отводящая воду, причём через первую бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую освобождается от воды.

При заполненном на $\frac{1}{3}$ бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая освобождает бассейн?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Примем весь объём бассейна за $1$.

Пусть $x$ часов — время, за которое вторая (отводящая) труба полностью опустошает бассейн. Тогда её производительность (скорость работы) составляет $p_2 = \frac{1}{x}$ части бассейна в час.

Согласно условию, первая (подающая) труба наполняет бассейн на $2$ часа дольше. Значит, время наполнения для первой трубы равно $x+2$ часа. Её производительность составляет $p_1 = \frac{1}{x+2}$ части бассейна в час.

Когда обе трубы открыты одновременно, бассейн опустошается, так как вода вытекает быстрее, чем втекает ($p_2 > p_1$, поскольку $x < x+2$). Совместная производительность двух труб, работающих на опустошение, равна разности их производительностей:

$p_{совм} = p_2 - p_1 = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}$.

В задаче говорится, что при начальном заполнении на $\frac{1}{3}$ бассейн опустел за $8$ часов совместной работы. Используя формулу "Работа = Производительность $ \times $ Время", где "Работа" — это объём слитой воды ($\frac{1}{3}$ бассейна), составим уравнение:

$\frac{1}{3} = \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}\right) \cdot 8$.

Решим полученное уравнение. Сначала разделим обе части на $8$:

$\frac{1}{24} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}$.

Приведём дроби в правой части к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{1}{24} = \frac{(x+2) - x}{x(x+2)}$

$\frac{1}{24} = \frac{2}{x^2 + 2x}$.

По свойству пропорции (перекрёстное умножение) получаем:

$1 \cdot (x^2 + 2x) = 24 \cdot 2$

$x^2 + 2x = 48$.

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 48 = 0$.

Найдём корни уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 14}{2}$.

$x_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

Поскольку время ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -8$ не имеет физического смысла в контексте задачи. Таким образом, время, за которое вторая труба опустошает бассейн, составляет $6$ часов.

Время, за которое первая труба наполняет бассейн, составляет $x+2 = 6+2 = 8$ часов.

Ответ: первая труба наполняет бассейн за 8 часов, а вторая освобождает его за 6 часов.