Номер 6, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 6, страница 121.

Условие.

6. При строительстве нового театра бригада рабочих должна была смонтировать 420 мест для зрителей. Задание было выполнено на день раньше срока, поскольку ежедневно монтировали на 10 мест больше, чем планировалось. Сколько мест монтировали ежедневно?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть $x$ — количество мест, которое бригада планировала монтировать ежедневно. Тогда по плану на выполнение всей работы потребовалось бы $\frac{420}{x}$ дней.

По условию, бригада ежедневно монтировала на 10 мест больше, то есть $x + 10$ мест в день. Фактически на выполнение работы ушло $\frac{420}{x+10}$ дней.

Задание было выполнено на 1 день раньше срока, это означает, что разница между плановым и фактическим временем составляет 1 день. Составим и решим уравнение:

$\frac{420}{x} - \frac{420}{x+10} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+10)$:

$\frac{420(x+10) - 420x}{x(x+10)} = 1$

$\frac{420x + 4200 - 420x}{x^2 + 10x} = 1$

$\frac{4200}{x^2 + 10x} = 1$

При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -10$, получаем:

$x^2 + 10x = 4200$

$x^2 + 10x - 4200 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4200) = 100 + 16800 = 16900$

$\sqrt{D} = \sqrt{16900} = 130$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 130}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 130}{2} = \frac{-140}{2} = -70$

Так как количество монтируемых мест ($x$) не может быть отрицательным, корень $x_2 = -70$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, планировалось монтировать 60 мест в день.

Вопрос задачи — сколько мест монтировали ежедневно по факту. Фактическая производительность была на 10 мест больше плановой:

$60 + 10 = 70$ (мест)

Ответ: 70 мест.