Номер 8, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 8, страница 122.

Условие.

8. Первому рабочему для выполнения производственного задания требуется на 2 ч больше, чем второму. Первый рабочий трудился 2 ч, а затем его сменил второй. После того как второй рабочий отработал 3 ч, выяснилось, что выполнено 75% задания. За сколько часов может выполнить это задание каждый рабочий, работая самостоятельно?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть время, за которое второй рабочий может выполнить все задание, работая самостоятельно, равно $t$ часов. Тогда, согласно условию, первому рабочему для выполнения этого же задания потребуется $(t+2)$ часов.

Производительность (скорость работы) второго рабочего составляет $\frac{1}{t}$ часть задания в час, а производительность первого рабочего — $\frac{1}{t+2}$ часть задания в час.

Первый рабочий трудился 2 часа и выполнил часть задания, равную $2 \cdot \frac{1}{t+2} = \frac{2}{t+2}$.

Затем второй рабочий трудился 3 часа и выполнил часть задания, равную $3 \cdot \frac{1}{t} = \frac{3}{t}$.

Вместе они выполнили 75% задания, что составляет 0,75 или $\frac{3}{4}$ от всего задания. Составим и решим уравнение, сложив части работы, выполненные обоими рабочими:

$\frac{2}{t+2} + \frac{3}{t} = \frac{3}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t(t+2)$:

$\frac{2t + 3(t+2)}{t(t+2)} = \frac{3}{4}$

$\frac{2t + 3t + 6}{t^2 + 2t} = \frac{3}{4}$

$\frac{5t + 6}{t^2 + 2t} = \frac{3}{4}$

Используем свойство пропорции (при условии, что $t \neq 0$ и $t \neq -2$, что следует из смысла задачи, так как время не может быть отрицательным или нулевым):

$4(5t + 6) = 3(t^2 + 2t)$

$20t + 24 = 3t^2 + 6t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3t^2 + 6t - 20t - 24 = 0$

$3t^2 - 14t - 24 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-24) = 196 + 288 = 484$

$\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 22}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 22}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$

Поскольку время ($t$) не может быть отрицательной величиной, корень $t_1 = -\frac{4}{3}$ не является решением задачи.

Следовательно, время, за которое второй рабочий выполнит задание, равно 6 часов.

Время, за которое первый рабочий выполнит задание, равно $t + 2 = 6 + 2 = 8$ часов.

Ответ: первый рабочий может выполнить задание за 8 часов, а второй — за 6 часов.