Номер 1, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 1, страница 116.

Условие.

Решаем задачи

1. Лыжнику необходимо было пробежать расстояние в 30 км. Начав бег на 3 мин позже запланированного времени старта, он бежал со скоростью, большей предполагавшейся на 1 км/ч, и прибежал к месту назначения вовремя. Определите скорость, с которой бежал лыжник.

Решение.

Пусть лыжник бежал со скоростью $x$ км/ч и пробежал 30 км за $\frac{30}{x}$ ч.

Тогда предполагавшаяся скорость составляла ( ) км/ч, а пробежать 30 км планировалось за ч, что на

3 мин = $\frac{3}{60}$ ч = $\frac{1}{20}$ ч больше, чем было в действительности.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — это скорость, с которой бежал лыжник (действительная скорость).

Согласно условию задачи, эта скорость на 1 км/ч больше предполагавшейся. Следовательно, предполагавшаяся (планируемая) скорость равна $(x-1)$ км/ч.

Расстояние, которое необходимо пробежать, составляет 30 км.

Действительное время, которое лыжник затратил на дистанцию, равно $t_{действ.} = \frac{30}{x}$ ч.

Планируемое время на эту же дистанцию равно $t_{план.} = \frac{30}{x-1}$ ч.

Лыжник стартовал на 3 минуты позже запланированного времени. Чтобы прибыть к месту назначения вовремя, ему пришлось сократить время в пути на эти 3 минуты. Переведем 3 минуты в часы:

$3 \text{ мин} = \frac{3}{60} \text{ ч} = \frac{1}{20} \text{ ч}$

Это означает, что разница между планируемым и действительным временем составляет $\frac{1}{20}$ часа. Составим и решим уравнение:

$t_{план.} - t_{действ.} = \frac{1}{20}$

$\frac{30}{x-1} - \frac{30}{x} = \frac{1}{20}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-1)$:

$\frac{30x - 30(x-1)}{x(x-1)} = \frac{1}{20}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{30x - 30x + 30}{x^2 - x} = \frac{1}{20}$

$\frac{30}{x^2 - x} = \frac{1}{20}$

Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$1 \cdot (x^2 - x) = 30 \cdot 20$

$x^2 - x = 600$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 600 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 1 + 2400 = 2401$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$

$x_1 = \frac{-(-1) + 49}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 49}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$x_2 = \frac{-(-1) - 49}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 49}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -24$ не является решением задачи. Таким образом, действительная скорость лыжника составляет 25 км/ч.

Ответ: 25 км/ч.