Номер 8, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 8, страница 110.

Условие.

8. Решите уравнение:

1) $\frac{13}{2x^2+x-21} + \frac{1}{2x+7} = \frac{6}{x^2-9}$

Решение.

Разложим на множители трёхчлен $2x^2+x-21$.

Имеем: $2x^2+x-21=0$;

$D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 169$;

$x_1 = \frac{-1-13}{4} = -\frac{7}{2}; x_2 = \frac{-1+13}{4} = 3;$

$2x^2+x-21 = 2(x+\frac{7}{2})(x-3) = (2x+7)(x-3).$

Тогда получаем:

$\frac{13}{(2x+7)(x-3)} + \frac{1}{2x+7} = \frac{6}{(x-3)(x+3)} = 0;$

Ответ:

2) $\frac{x}{x-2} + \frac{x+2}{x+4} = \frac{12}{x^2+2x-8};$

Решение.

Ответ:

3) $\frac{2}{x+3} + \frac{x^2+5}{x^3+27} = \frac{5x}{x^2-3x+9};$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $\frac{13}{2x^2 + x - 21} + \frac{1}{2x + 7} = \frac{6}{x^2 - 9}$

Решение.

Разложим на множители знаменатели дробей.
Для трёхчлена $2x^2 + x - 21$ найдем корни уравнения $2x^2 + x - 21 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$, $x_2 = \frac{-1 + 13}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
Следовательно, $2x^2 + x - 21 = 2(x - 3)(x + \frac{7}{2}) = (x - 3)(2x + 7)$.
Знаменатель $x^2 - 9$ разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Перепишем уравнение в новом виде:
$\frac{13}{(x - 3)(2x + 7)} + \frac{1}{2x + 7} = \frac{6}{(x - 3)(x + 3)}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $x - 3 \neq 0$, $2x + 7 \neq 0$, $x + 3 \neq 0$.
То есть, $x \neq 3$, $x \neq -3.5$, $x \neq -3$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3)(2x + 7)$ и приравняем числители:
$13(x + 3) + (x - 3)(x + 3) = 6(2x + 7)$
$13x + 39 + x^2 - 9 = 12x + 42$
$x^2 + 13x + 30 = 12x + 42$
$x^2 + x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -12$
Подбором находим корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x = -4$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x = 3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$), поэтому является посторонним.

Ответ: $-4$.

2) $\frac{x}{x - 2} + \frac{x + 2}{x + 4} = \frac{12}{x^2 + 2x - 8}$

Решение.

Разложим на множители знаменатель $x^2 + 2x - 8$.
Решим уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.
Следовательно, $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)$.

Перепишем исходное уравнение:
$\frac{x}{x - 2} + \frac{x + 2}{x + 4} = \frac{12}{(x - 2)(x + 4)}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x - 2 \neq 0$ и $x + 4 \neq 0$.
То есть, $x \neq 2$ и $x \neq -4$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 2)(x + 4)$, при условии, что он не равен нулю:
$x(x + 4) + (x + 2)(x - 2) = 12$
$x^2 + 4x + x^2 - 4 = 12$
$2x^2 + 4x - 16 = 0$

Разделим уравнение на 2:
$x^2 + 2x - 8 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
Оба корня, $x = -4$ и $x = 2$, не удовлетворяют ОДЗ. Следовательно, они являются посторонними.

Ответ: корней нет.

3) $\frac{2}{x + 3} + \frac{x^2 + 5}{x^3 + 27} = \frac{5x}{x^2 - 3x + 9}$

Решение.

Разложим на множители знаменатель $x^3 + 27$ по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.

Перепишем исходное уравнение:
$\frac{2}{x + 3} + \frac{x^2 + 5}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{5x}{x^2 - 3x + 9}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 3 \neq 0$ и $x^2 - 3x + 9 \neq 0$.
Из первого условия получаем $x \neq -3$.
Для второго выражения $x^2 - 3x + 9$ найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0$. Так как дискриминант отрицательный, выражение $x^2 - 3x + 9$ не равно нулю ни при каких действительных значениях $x$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq -3$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$:
$2(x^2 - 3x + 9) + (x^2 + 5) = 5x(x + 3)$
$2x^2 - 6x + 18 + x^2 + 5 = 5x^2 + 15x$
$3x^2 - 6x + 23 = 5x^2 + 15x$
$0 = 5x^2 - 3x^2 + 15x + 6x - 23$
$2x^2 + 21x - 23 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = 21^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-23) = 441 + 184 = 625 = 25^2$.
Корни:
$x_1 = \frac{-21 - 25}{2 \cdot 2} = \frac{-46}{4} = -11.5$
$x_2 = \frac{-21 + 25}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня, $x = -11.5$ и $x = 1$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$).

Ответ: $-11.5; 1$.