Номер 6, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 6, страница 105.

Условие.

6. Решите уравнение:

1) $ \frac{4x+3}{x-1} = \frac{3x+6}{x+7} $

Решение.

Данное уравнение равносильно системе

$ \begin{cases} (4x+3)(x+7) = (3x+6)(x-1), \\ x-1 \neq 0, \\ x+7 \neq 0. \end{cases} $

Ответ:

2) $ \frac{5-x}{x-6} = \frac{6-2x}{x} $

Решение.

Ответ:

3) $ \frac{3x^2-x-4}{3x-4} = 2x-1 $

Решение.

Данное уравнение равносильно системе

$ \begin{cases} 3x^2-x-4 = (3x-4)(2x-1), \\ 3x-4 \neq 0. \end{cases} $

Ответ:

4) $ \frac{6x^2+19x+22}{x+5} = 5x+2 $

Решение.

Ответ:

Решение.

1)

Данное уравнение равносильно системе, где первое уравнение получается из равенства дробей по свойству пропорции, а остальные — условия, что знаменатели не равны нулю:

$\begin{cases} (4x+3)(x+7) = (3x+6)(x-1), \\ x-1 \neq 0, \\ x+7 \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы. Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$4x^2 + 28x + 3x + 21 = 3x^2 - 3x + 6x - 6$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$4x^2 + 31x + 21 = 3x^2 + 3x - 6$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, изменив их знаки на противоположные:

$(4x^2 - 3x^2) + (31x - 3x) + (21 + 6) = 0$

$x^2 + 28x + 27 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

сумма корней $x_1 + x_2 = -28$

произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 27$

Подбором находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -27$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям из системы ($x \neq 1$ и $x \neq -7$).

Корень $x_1 = -1$ не равен $1$ и не равен $-7$, следовательно, он является решением исходного уравнения.

Корень $x_2 = -27$ не равен $1$ и не равен $-7$, следовательно, он также является решением.

Ответ: -27; -1.

2)

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x-6 \neq 0 \implies x \neq 6$

$x \neq 0$

Применим основное свойство пропорции (умножим крест-накрест):

$(5-x) \cdot x = (6-2x)(x-6)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5x - x^2 = 6x - 36 - 2x^2 + 12x$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$5x - x^2 = -2x^2 + 18x - 36$

Перенесем все члены в левую часть, изменив их знаки на противоположные:

$2x^2 - x^2 + 5x - 18x + 36 = 0$

$x^2 - 13x + 36 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $13$, а произведение $36$. Корнями являются:

$x_1 = 4$, $x_2 = 9$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 6$ и $x \neq 0$), поэтому оба являются решениями уравнения.

Ответ: 4; 9.

3)

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3x^2 - x - 4 = (3x - 4)(2x - 1), \\ 3x - 4 \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы. Раскроем скобки в правой части:

$3x^2 - x - 4 = 6x^2 - 3x - 8x + 4$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$3x^2 - x - 4 = 6x^2 - 11x + 4$

Перенесем все члены в правую часть и приравняем уравнение к нулю:

$0 = (6x^2 - 3x^2) + (-11x + x) + (4 + 4)$

$3x^2 - 10x + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 2}{6}$

$x_1 = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $3x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{4}{3}$.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \neq \frac{4}{3}$.

Корень $x_2 = \frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.

Ответ: 2.

4)

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$.

Умножим обе части уравнения на $(x+5)$, чтобы избавиться от дроби:

$6x^2 + 19x + 22 = (5x + 2)(x + 5)$

Раскроем скобки в правой части:

$6x^2 + 19x + 22 = 5x^2 + 25x + 2x + 10$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$6x^2 + 19x + 22 = 5x^2 + 27x + 10$

Перенесем все члены в левую часть:

$(6x^2 - 5x^2) + (19x - 27x) + (22 - 10) = 0$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $8$, а произведение $12$. Корнями являются:

$x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ ($x \neq -5$).

$x_1 = 2 \neq -5$. Корень подходит.

$x_2 = 6 \neq -5$. Корень подходит.

Ответ: 2; 6.