Номер 5, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 5, страница 103.

Условие.

5. Решите уравнение:

1) $\frac{3x^2 + 5x - 2}{x^2 - 4} = 0;$

Решение.

Ответ:

2) $\frac{x^2 - 3x - 70}{x^2 + 6x - 7} = 0.$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $\frac{3x^2 + 5x - 2}{x^2 - 4} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие равносильно системе:

$\left\{\begin{array}{l}3x^2 + 5x - 2 = 0, \\ x^2 - 4 \neq 0.\end{array}\right.$

Решим первое уравнение системы: $3x^2 + 5x - 2 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = 7$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь решим второе условие системы (найдем область допустимых значений - ОДЗ):

$x^2 - 4 \neq 0$

$x^2 \neq 4$

$x \neq \pm 2$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни этому условию. Корень $x_1 = -2$ не удовлетворяет условию $x \neq -2$, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию, так как $\frac{1}{3} \neq \pm 2$.

Следовательно, единственным решением уравнения является $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

2) $\frac{x^2 - 3x - 70}{x^2 + 6x - 7} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Запишем это в виде системы:

$\left\{\begin{array}{l}x^2 - 3x - 70 = 0, \\ x^2 + 6x - 7 \neq 0.\end{array}\right.$

Решим первое уравнение: $x^2 - 3x - 70 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

$\left\{\begin{array}{l}x_1 + x_2 = 3, \\ x_1 \cdot x_2 = -70.\end{array}\right.$

Подбором находим корни: $x_1 = 10$ и $x_2 = -7$.

Теперь найдем значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю (ОДЗ):

$x^2 + 6x - 7 \neq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$. По теореме Виета:

$\left\{\begin{array}{l}x_1 + x_2 = -6, \\ x_1 \cdot x_2 = -7.\end{array}\right.$

Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$.

Следовательно, область допустимых значений: $x \neq 1$ и $x \neq -7$.

Сравним корни числителя ($10$ и $-7$) с областью допустимых значений. Корень $x = -7$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль, значит, это посторонний корень. Корень $x = 10$ входит в ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x = 10$.

Ответ: $10$