Номер 2, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 2, страница 97.

Условие.

Решаем задачи

2. Решите уравнение:

1) $x^4 - 18x^2 + 32 = 0$;

2) $x^4 + x^2 - 20 = 0$.

Решение.

Пусть $x^2 = t$. Тогда $x^4 = t^2$.

Получаем: $t^2 - 18t + 32 = 0$;

Ответ:

Решение.

Ответ:

Решение.

1)

Дано уравнение $x^4 - 18x^2 + 32 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $x^2 = t$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $t \ge 0$.

Тогда $x^4 = (x^2)^2 = t^2$.

Подставив новую переменную в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 18t + 32 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $18$, а их произведение равно $32$.

$t_1 + t_2 = 18$

$t_1 \cdot t_2 = 32$

Подбором находим корни: $t_1 = 16$ и $t_2 = 2$.

Оба найденных значения для $t$ являются положительными, следовательно, удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из корней:

1. Если $t = 16$, то $x^2 = 16$. Отсюда $x = \pm\sqrt{16}$, то есть $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

2. Если $t = 2$, то $x^2 = 2$. Отсюда $x = \pm\sqrt{2}$, то есть $x_3 = \sqrt{2}$ и $x_4 = -\sqrt{2}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-4; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 4$.

2)

Дано уравнение $x^4 + x^2 - 20 = 0$.

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной.

Пусть $x^2 = t$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x^4 = t^2$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + t - 20 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = -5$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет условию.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 0$), поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t = 4$:

$x^2 = 4$

Отсюда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.