Номер 5, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен - номер 5, страница 92.

Условие.

5. Квадратный трёхчлен разложен на множители: $2x^2 + 11x + 15 = 2(x + 3)(x - a)$. Найдите значение $a$.

Решение.

Ответ:

Решение.

Данный квадратный трёхчлен разложен на множители, что представляет собой тождественное равенство:

$2x^2 + 11x + 15 = 2(x + 3)(x - a)$

Для нахождения неизвестного параметра $a$ можно использовать два основных способа.

Способ 1: Раскрытие скобок и сравнение коэффициентов

Раскроем скобки в правой части равенства и приведём подобные слагаемые.

$2(x + 3)(x - a) = 2(x^2 - ax + 3x - 3a)$

Сгруппируем слагаемые с $x$ внутри скобок:

$2(x^2 + (3 - a)x - 3a)$

Теперь умножим выражение в скобках на 2:

$2x^2 + 2(3 - a)x - 6a = 2x^2 + (6 - 2a)x - 6a$

Теперь мы можем приравнять исходный трёхчлен и полученное выражение:

$2x^2 + 11x + 15 = 2x^2 + (6 - 2a)x - 6a$

Так как это равенство должно выполняться для любого значения $x$, коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях должны быть равны. Составим систему уравнений, приравнивая коэффициенты при $x$ и свободные члены:

$ \begin{cases} 11 = 6 - 2a & \text{(коэффициенты при } x\text{)} \\ 15 = -6a & \text{(свободные члены)} \end{cases} $

Решим второе уравнение, так как оно проще:

$15 = -6a$

$a = \frac{15}{-6} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Для проверки подставим найденное значение $a = -2.5$ в первое уравнение:

$11 = 6 - 2(-2.5)$

$11 = 6 + 5$

$11 = 11$

Равенство верное, значит, значение $a$ найдено правильно.

Способ 2: Нахождение корней квадратного трёхчлена

Разложение квадратного трёхчлена $Ax^2 + Bx + C$ на множители имеет вид $A(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$.

Из данного нам разложения $2(x + 3)(x - a)$ видно, что один из корней равен $-3$, а второй корень равен $a$.

Найдем корни уравнения $2x^2 + 11x + 15 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = B^2 - 4AC = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 121 - 120 = 1$

$x_1 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{-11 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 + 1}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

$x_2 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{-11 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 - 1}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

Таким образом, корнями трёхчлена являются числа $-3$ и $-2.5$.

Сравнивая эти корни с корнями из заданного разложения ($-3$ и $a$), заключаем, что $a = -2.5$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $-2.5$