Номер 3, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен - номер 3, страница 90.

Условие.

3. Разложите на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) $7x^2 + 20x - 3;$

Найдём корни данного трёхчлена:

$7x^2 + 20x - 3 = 0;$

$D_1 = 10^2 - 7 \cdot (-3) = 100 + 21 = 121;$

$x_1 = \frac{-10 + 11}{7} = \frac{1}{7}, x_2 = \frac{-10 - 11}{7} = -3.$

Следовательно, $7x^2 + 20x - 3 = 7\left(x - \frac{1}{7}\right)(x + 3) = (7x - 1)(x + 3).$

2) $x^2 - 3x - 18;$

3) $-x^2 + 6x - 8;$

4) $0,4m^2 + 0,7m - 3;$

5) $9a^2 - a + 1.$

Решение.

2) $x^2 - 3x - 18$

Для разложения квадратного трёхчлена на множители найдём корни соответствующего квадратного уравнения: $x^2 - 3x - 18 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -3$, $c = -18$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.

Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + 9}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{-(-3) - 9}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Разложим трёхчлен по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 - 3x - 18 = 1 \cdot (x - 6)(x - (-3)) = (x - 6)(x + 3)$.

Ответ: $(x - 6)(x + 3)$.

3) $-x^2 + 6x - 8$

Найдём корни квадратного уравнения $-x^2 + 6x - 8 = 0$.

Коэффициенты: $a = -1$, $b = 6$, $c = -8$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-8) = 36 - 32 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-6 + 2}{2 \cdot (-1)} = \frac{-4}{-2} = 2$.

$x_2 = \frac{-6 - 2}{2 \cdot (-1)} = \frac{-8}{-2} = 4$.

Разложим трёхчлен по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$-x^2 + 6x - 8 = -1 \cdot (x - 2)(x - 4) = -(x - 2)(x - 4)$.

Ответ: $-(x - 2)(x - 4)$.

4) $0,4m^2 + 0,7m - 3$

Найдём корни квадратного уравнения $0,4m^2 + 0,7m - 3 = 0$.

Коэффициенты: $a = 0,4$, $b = 0,7$, $c = -3$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (0,7)^2 - 4 \cdot 0,4 \cdot (-3) = 0,49 + 4,8 = 5,29$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{5,29} = 2,3$.

Найдём корни по формуле $m_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$m_1 = \frac{-0,7 + 2,3}{2 \cdot 0,4} = \frac{1,6}{0,8} = 2$.

$m_2 = \frac{-0,7 - 2,3}{2 \cdot 0,4} = \frac{-3,0}{0,8} = -\frac{30}{8} = -\frac{15}{4} = -3,75$.

Разложим трёхчлен по формуле $a(m - m_1)(m - m_2)$:

$0,4m^2 + 0,7m - 3 = 0,4(m - 2)(m - (-3,75)) = 0,4(m - 2)(m + 3,75)$.

Ответ: $0,4(m - 2)(m + 3,75)$.

5) $9a^2 - a + 1$

Найдём корни квадратного уравнения $9a^2 - a + 1 = 0$, где переменная обозначена буквой $a$.

Коэффициенты уравнения: старший коэффициент $A = 9$, второй коэффициент $B = -1$, свободный член $C = 1$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 1 - 36 = -35$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, данный квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: Разложить на линейные множители нельзя.