Номер 10, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 10, страница 87.

Условие.

10. Корни уравнения $x^2 - 8x + m = 0$ удовлетворяют условию $2x_1 + 3x_2 = 14$. Найдите корни уравнения и число $m$.

Решение.

Ответ:

Решение.

Для заданного квадратного уравнения $x^2 - 8x + m = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ применим теорему Виета. Согласно этой теореме:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = m$.

По условию задачи также известно, что корни удовлетворяют соотношению $2x_1 + 3x_2 = 14$.

Для нахождения корней $x_1$ и $x_2$ составим и решим систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ 2x_1 + 3x_2 = 14 \end{cases} $

Из первого уравнения системы выразим $x_1$:
$x_1 = 8 - x_2$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2(8 - x_2) + 3x_2 = 14$
$16 - 2x_2 + 3x_2 = 14$
$16 + x_2 = 14$
$x_2 = 14 - 16$
$x_2 = -2$.

Теперь, зная $x_2$, найдем $x_1$:
$x_1 = 8 - x_2 = 8 - (-2) = 8 + 2 = 10$.

Мы нашли корни уравнения: $10$ и $-2$.

Далее найдем значение параметра $m$, используя второе соотношение из теоремы Виета:
$m = x_1 \cdot x_2 = 10 \cdot (-2) = -20$.

Ответ: корни уравнения: 10 и -2; число $m = -20$.