Номер 8, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 8, страница 87.

Условие.

8. Пусть $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $x^2 + bx + c = 0$. Заполните таблицу.

Уравнение | $x_1 + x_2$ | $x_1 x_2$ | Знак корня, имеющего больший модуль | Знак корня, имеющего меньший модуль

$x^2 + x - 46 = 0$ | -1 | -46 | | +

$x^2 - 7x + 2 = 0$ | | | |

$x^2 - 4x - 11 = 0$ | | | |

$x^2 + 19x + 20 = 0$ | | | |

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = c$

Для определения знаков корней, имеющих больший и меньший модуль, проанализируем знаки их суммы и произведения:

• Если произведение корней $x_1 x_2 > 0$, то оба корня имеют одинаковый знак. Этот знак совпадает со знаком их суммы $x_1 + x_2$.
• Если произведение корней $x_1 x_2 < 0$, то корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный). В этом случае знак суммы $x_1 + x_2$ совпадает со знаком корня, имеющего больший модуль.

Применим этот подход для каждого уравнения.

Уравнение $x^2 + x - 46 = 0$

Здесь коэффициенты $b = 1$ и $c = -46$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b = -1$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = c = -46$.

Так как произведение корней $x_1 x_2 = -46 < 0$, корни имеют разные знаки. Сумма корней $x_1 + x_2 = -1 < 0$, следовательно, корень с большим модулем отрицателен, а корень с меньшим модулем положителен.

Ответ: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 x_2 = -46$, знак корня, имеющего больший модуль: –, знак корня, имеющего меньший модуль: +.

Уравнение $x^2 - 7x + 2 = 0$

Здесь коэффициенты $b = -7$ и $c = 2$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b = -(-7) = 7$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = c = 2$.

Так как произведение корней $x_1 x_2 = 2 > 0$, корни имеют одинаковый знак. Сумма корней $x_1 + x_2 = 7 > 0$, следовательно, оба корня положительны.

Ответ: $x_1 + x_2 = 7$, $x_1 x_2 = 2$, знак корня, имеющего больший модуль: +, знак корня, имеющего меньший модуль: +.

Уравнение $x^2 - 4x - 11 = 0$

Здесь коэффициенты $b = -4$ и $c = -11$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b = -(-4) = 4$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = c = -11$.

Так как произведение корней $x_1 x_2 = -11 < 0$, корни имеют разные знаки. Сумма корней $x_1 + x_2 = 4 > 0$, следовательно, корень с большим модулем положителен, а корень с меньшим модулем отрицателен.

Ответ: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 x_2 = -11$, знак корня, имеющего больший модуль: +, знак корня, имеющего меньший модуль: –.

Уравнение $x^2 + 19x + 20 = 0$

Здесь коэффициенты $b = 19$ и $c = 20$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b = -19$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = c = 20$.

Так как произведение корней $x_1 x_2 = 20 > 0$, корни имеют одинаковый знак. Сумма корней $x_1 + x_2 = -19 < 0$, следовательно, оба корня отрицательны.

Ответ: $x_1 + x_2 = -19$, $x_1 x_2 = 20$, знак корня, имеющего больший модуль: –, знак корня, имеющего меньший модуль: –.