Номер 7, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 7, страница 86.

Условие.

7. Известно, что $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $7x^2 - 10x + 2 = 0$. Не решая уравнения, найдите значение выражения:

1) $2x_1^2 + 2x_1x_2^2$;

2) $4x_1x_2 - 3x_1 - 3x_2$.

Решение.

По теореме Виета $x_1 + x_2 = $ , $x_1x_2 = $

1) Имеем: $2x_1^2 + 2x_1x_2^2 = 2x_1x_2(x_1 + x_2) = $

2)

Ответ: 1)

2)

Решение.

Для нахождения значений выражений, не решая уравнение $7x^2 - 10x + 2 = 0$, воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{c}{a}$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $a=7$, $b=-10$, $c=2$.

Найдем сумму и произведение корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{-10}{7} = \frac{10}{7}$

$x_1x_2 = \frac{2}{7}$

Теперь, используя эти значения, найдем значения заданных выражений.

1) $2x_1^2 + 2x_1x_2^2$

(Примечание: в условии этого пункта, вероятно, допущена опечатка. Стандартный вид подобных заданий, решаемых через теорему Виета, предполагает симметричное выражение, например, $2x_1^2x_2 + 2x_1x_2^2$. Решение приведено для этого исправленного выражения, что также соответствует ходу решения, начатому на изображении.)

Преобразуем выражение $2x_1^2x_2 + 2x_1x_2^2$, вынеся за скобки общий множитель $2x_1x_2$:

$2x_1^2x_2 + 2x_1x_2^2 = 2x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим ранее найденные значения для суммы и произведения корней:

$2 \cdot \left(\frac{2}{7}\right) \cdot \left(\frac{10}{7}\right) = \frac{2 \cdot 2 \cdot 10}{7 \cdot 7} = \frac{40}{49}$

Ответ: $\frac{40}{49}$

2) $4x_1x_2 - 3x_1 - 3x_2$

Преобразуем выражение, вынеся за скобки общий множитель $-3$ у последних двух слагаемых:

$4x_1x_2 - 3x_1 - 3x_2 = 4x_1x_2 - 3(x_1 + x_2)$

Подставим значения для суммы и произведения корней:

$4 \cdot \left(\frac{2}{7}\right) - 3 \cdot \left(\frac{10}{7}\right) = \frac{8}{7} - \frac{30}{7} = \frac{8-30}{7} = -\frac{22}{7}$

Ответ: $-\frac{22}{7}$