Номер 16, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 16, страница 83.

Условие.

16. При каком значении $b$ имеет единственный корень уравнение:

1) $bx^2 + (b + 1)x + 1 = 0$;

Решение.

При $b = 0$ получаем линейное уравнение ______________________________, имеющее

При $b \neq 0$ данное уравнение является ______________________________. Оно имеет

единственный корень, если ___________________________________________

Ответ: ___________________________________________________________

2) $(b - 2)x^2 - (b + 2)x - 3 = 0?$

Решение.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Ответ: ___________________________________________________________

Решение.

1) $bx^2 + (b + 1)x + 1 = 0;$

Данное уравнение может быть как линейным, так и квадратным, в зависимости от значения параметра $b$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $b = 0$

Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, то уравнение становится линейным.

Подставим $b = 0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 + (0 + 1)x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x = -1$

В этом случае уравнение имеет единственный корень. Следовательно, $b = 0$ является одним из решений задачи.

Случай 2: $b \neq 0$

Если коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то уравнение является квадратным.

Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Найдем дискриминант для уравнения $bx^2 + (b + 1)x + 1 = 0$:

$D = (b + 1)^2 - 4 \cdot b \cdot 1 = b^2 + 2b + 1 - 4b = b^2 - 2b + 1 = (b - 1)^2$

Приравняем дискриминант к нулю:

$(b - 1)^2 = 0$

$b - 1 = 0$

$b = 1$

Это значение удовлетворяет условию $b \neq 0$. Следовательно, $b = 1$ также является решением.

Объединив результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $b = 0$ и $b = 1$.

Ответ: $b = 0; b = 1$.

2) $(b - 2)x^2 - (b + 2)x - 3 = 0;$

Аналогично первому заданию, рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю

$b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2$

В этом случае уравнение становится линейным.

Подставим $b = 2$ в исходное уравнение:

$(2 - 2)x^2 - (2 + 2)x - 3 = 0$

$0 \cdot x^2 - 4x - 3 = 0$

$-4x = 3$

$x = - \frac{3}{4}$

Уравнение имеет единственный корень. Значит, $b = 2$ является решением.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю

$b - 2 \neq 0 \Rightarrow b \neq 2$

В этом случае уравнение является квадратным и имеет единственный корень, если его дискриминант $D$ равен нулю.

Найдем дискриминант:

$D = (-(b + 2))^2 - 4 \cdot (b - 2) \cdot (-3) = (b + 2)^2 + 12(b - 2)$

$D = (b^2 + 4b + 4) + (12b - 24) = b^2 + 16b - 20$

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное квадратное уравнение относительно $b$:

$b^2 + 16b - 20 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения (обозначим его $D_b$):

$D_b = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 256 + 80 = 336$

$\sqrt{D_b} = \sqrt{336} = \sqrt{16 \cdot 21} = 4\sqrt{21}$

Найдем корни для $b$:

$b_{1,2} = \frac{-16 \pm 4\sqrt{21}}{2} = -8 \pm 2\sqrt{21}$

Оба этих значения не равны 2, поэтому они являются решениями.

Объединив результаты обоих случаев, получаем три значения для $b$.

Ответ: $b = 2; b = -8 + 2\sqrt{21}; b = -8 - 2\sqrt{21}$.