Номер 14, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 14, страница 82.

Условие.

14. Решите уравнение:

1) $x^2 - 3x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 40$;

Решение.

Данное уравнение равносильно системе $\begin{cases} x^2 - 3x = 40, \\ 6 - x \ge 0. \end{cases}$

Отсюда $\begin{cases} x^2 - 3x - 40 = 0, \\ x \le 6. \end{cases}$

Ответ:

2) $x^2 - 2x + \sqrt{x - 5} = \sqrt{x - 5} + 24.$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $x^2 - 3x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 40$

Решение.

Данное уравнение содержит иррациональное выражение $\sqrt{6 - x}$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$6 - x \ge 0$

$x \le 6$

В исходном уравнении вычтем из обеих частей одинаковый член $\sqrt{6 - x}$:

$x^2 - 3x = 40$

Таким образом, решение исходного уравнения равносильно решению системы:

$\begin{cases} x^2 - 3x - 40 = 0 \\ x \le 6 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы, которое является квадратным: $x^2 - 3x - 40 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно -40. Методом подбора находим корни:

$x_1 = 8$

$x_2 = -5$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни второму условию системы, то есть неравенству $x \le 6$.

Для корня $x_1 = 8$: неравенство $8 \le 6$ является ложным. Следовательно, $x=8$ — посторонний корень.

Для корня $x_2 = -5$: неравенство $-5 \le 6$ является истинным. Следовательно, $x=-5$ — является решением.

Ответ: -5

2) $x^2 - 2x + \sqrt{x - 5} = \sqrt{x - 5} + 24$

Решение.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражение под корнем $\sqrt{x-5}$ должно быть неотрицательным:

$x - 5 \ge 0$

$x \ge 5$

Упростим уравнение, вычтя из обеих частей $\sqrt{x - 5}$:

$x^2 - 2x = 24$

Получаем систему, равносильную исходному уравнению:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 24 = 0 \\ x \ge 5 \end{cases}$

Решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 24 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -24. Корни уравнения:

$x_1 = 6$

$x_2 = -4$

Проверим, соответствуют ли эти корни условию $x \ge 5$.

Для корня $x_1 = 6$: неравенство $6 \ge 5$ является истинным. Значит, $x=6$ — корень исходного уравнения.

Для корня $x_2 = -4$: неравенство $-4 \ge 5$ является ложным. Значит, $x=-4$ — посторонний корень.

Ответ: 6