Номер 7, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 7, страница 74.

Условие.

7. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 3}{6} - \frac{7x - 5}{4} = -3;$

Решение.

Умножим обе части данного уравнения на число, являющееся наименьшим общим знаменателем дробей, стоящих в его левой части:

Ответ:

2) $\frac{4x^2 - x}{10} - \frac{x^2 + 1}{4} = x - 1.$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $\frac{x^2 - 3}{6} - \frac{7x - 5}{4} = -3$

Решение.

Умножим обе части данного уравнения на число 12, являющееся наименьшим общим знаменателем дробей, стоящих в его левой части:

$12 \cdot (\frac{x^2 - 3}{6} - \frac{7x - 5}{4}) = 12 \cdot (-3)$

$\frac{12(x^2 - 3)}{6} - \frac{12(7x - 5)}{4} = -36$

$2(x^2 - 3) - 3(7x - 5) = -36$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 6 - 21x + 15 = -36$

$2x^2 - 21x + 9 = -36$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 21x + 9 + 36 = 0$

$2x^2 - 21x + 45 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 45 = 441 - 360 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-21) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{21 + 9}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-21) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{21 - 9}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Ответ: $3; 7.5$.

2) $\frac{4x^2 - x}{10} - \frac{x^2 + 1}{4} = x - 1$

Решение.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который для чисел 10 и 4 равен 20:

$20 \cdot (\frac{4x^2 - x}{10} - \frac{x^2 + 1}{4}) = 20 \cdot (x - 1)$

$\frac{20(4x^2 - x)}{10} - \frac{20(x^2 + 1)}{4} = 20(x - 1)$

$2(4x^2 - x) - 5(x^2 + 1) = 20(x - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$8x^2 - 2x - 5x^2 - 5 = 20x - 20$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x^2 - 2x - 5 = 20x - 20$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - 2x - 20x - 5 + 20 = 0$

$3x^2 - 22x + 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 484 - 180 = 304$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-22) \pm \sqrt{304}}{2 \cdot 3} = \frac{22 \pm \sqrt{16 \cdot 19}}{6} = \frac{22 \pm 4\sqrt{19}}{6}$

Сократим дробь на 2:

$x = \frac{2(11 \pm 2\sqrt{19})}{6} = \frac{11 \pm 2\sqrt{19}}{3}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{11 + 2\sqrt{19}}{3}$

$x_2 = \frac{11 - 2\sqrt{19}}{3}$

Ответ: $\frac{11 - 2\sqrt{19}}{3}; \frac{11 + 2\sqrt{19}}{3}$.