Номер 4, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 4, страница 70.

Условие.

4. Решите уравнение:

1) $(4x + 5)(x - 2) = -9;$

Решение.

Ответ:

2) $(3x + 1)^2 = 3(x + 1);$

Решение.

Ответ:

3) $(2x - 1)^2 - (x - 4)(x + 4) = 37;$

Решение.

Ответ:

4) $(6x + 7)(x + 1) - (3x + 2)(x + 4) = 1.$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $(4x + 5)(x - 2) = -9$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$4x^2 - 8x + 5x - 10 = -9$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$4x^2 - 3x - 10 + 9 = 0$

$4x^2 - 3x - 1 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 - 5}{8} = \frac{-2}{8} = -0.25$

Ответ: $-0.25; 1$.

2) $(3x + 1)^2 = 3(x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 3x + 3$

$9x^2 + 6x + 1 = 3x + 3$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$9x^2 + 6x - 3x + 1 - 3 = 0$

$9x^2 + 3x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 9 + 72 = 81$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 9} = \frac{-3 + 9}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 9} = \frac{-3 - 9}{18} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}; \frac{1}{3}$.

3) $(2x - 1)^2 - (x - 4)(x + 4) = 37$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(4x^2 - 4x + 1) - (x^2 - 16) = 37$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:

$4x^2 - 4x + 1 - x^2 + 16 = 37$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 4x + 17 = 37$

Перенесем 37 в левую часть:

$3x^2 - 4x + 17 - 37 = 0$

$3x^2 - 4x - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 16}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Ответ: $-2; 3\frac{1}{3}$.

4) $(6x + 7)(x + 1) - (3x + 2)(x + 4) = 1$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(6x^2 + 6x + 7x + 7) - (3x^2 + 12x + 2x + 8) = 1$

Приведем подобные слагаемые в каждой паре скобок:

$(6x^2 + 13x + 7) - (3x^2 + 14x + 8) = 1$

Теперь раскроем вторые скобки, меняя знаки:

$6x^2 + 13x + 7 - 3x^2 - 14x - 8 = 1$

Снова приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - x - 1 = 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$3x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}; 1$.