Номер 6, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 6, страница 73.

Условие.

6. Удвоенное произведение двух последовательных натуральных чисел на 63 больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда следующее за ним натуральное число будет $n + 1$. По условию, числа натуральные, значит $n \in \mathbb{N}$, то есть $n \ge 1$.

Согласно условию задачи, удвоенное произведение этих чисел на 63 больше квадрата меньшего из них. Составим математическую модель (уравнение) на основе этого условия:
Удвоенное произведение чисел: $2 \cdot n \cdot (n + 1)$
Квадрат меньшего числа: $n^2$
Уравнение: $2n(n + 1) = n^2 + 63$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$.
$2n^2 + 2n = n^2 + 63$
$2n^2 - n^2 + 2n - 63 = 0$
$n^2 + 2n - 63 = 0$

Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:
$n_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 16}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$n_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 16}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

По условию, мы ищем натуральные числа. Корень $n_2 = -9$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи. Корень $n_1 = 7$ является натуральным числом.

Таким образом, меньшее из искомых чисел равно 7.
Следующее за ним число: $n + 1 = 7 + 1 = 8$.
Искомые числа – 7 и 8.

Выполним проверку:
Удвоенное произведение чисел: $2 \cdot (7 \cdot 8) = 2 \cdot 56 = 112$.
Квадрат меньшего числа: $7^2 = 49$.
Разница между ними: $112 - 49 = 63$.
Условие задачи выполняется.

Ответ: 7 и 8.