Номер 8, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 8, страница 75.

Условие.

8. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 25)^2 + (x^2 + 2x - 15)^2 = 0;$

Решение.

Левая часть данного уравнения — сумма двух выражений, каждое из которых принимает только неотрицательные значения. Их сумма может быть равной нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно

Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Ответ:

2) $(x^2 + 4x - 12)^2 + (x^2 + x - 6)^2 = 0.$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $(x^2 - 25)^2 + (x^2 + 2x - 15)^2 = 0$

Решение.

Левая часть данного уравнения — сумма двух выражений, $(x^2 - 25)^2$ и $(x^2 + 2x - 15)^2$, каждое из которых принимает только неотрицательные значения. Их сумма может быть равной нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю.

Следовательно, данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 25 = 0, \\ x^2 + 2x - 15 = 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы: $x^2 - 25 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение, его корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Решим второе уравнение системы: $x^2 + 2x - 15 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-15$. Следовательно, корни уравнения: $x_3 = 3$ и $x_4 = -5$.

Общим решением для обоих уравнений является корень $x = -5$.

Ответ: -5

2) $(x^2 + 4x - 12)^2 + (x^2 + x - 6)^2 = 0$

Решение.

Данное уравнение представляет собой сумму двух квадратов, равную нулю. Это возможно только в том случае, когда оба выражения, возводимые в квадрат, одновременно равны нулю.

Таким образом, уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 4x - 12 = 0, \\ x^2 + x - 6 = 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение: $x^2 + 4x - 12 = 0$.

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -4$ и $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корнями являются числа $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.

Решим второе уравнение: $x^2 + x - 6 = 0$.

По теореме Виета, $x_3 + x_4 = -1$ и $x_3 \cdot x_4 = -6$. Корнями являются числа $x_3 = -3$ и $x_4 = 2$.

Общим корнем для обоих уравнений является $x = 2$. Это и есть решение исходного уравнения.

Ответ: 2