Номер 10, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 10, страница 77.

Условие.

10. Решите уравнение:

1) $(x - 2)^2(x - 5) = 28(x - 2);$

Решение.

Имеем: $(x - 2)^2(x - 5) - 28(x - 2) = 0.$

Разложим левую часть получившегося уравнения на множители:

$(x - 2)((x - 2)(x - 5) - 28) = 0.$

Тогда $x - 2 = 0$ или $(x - 2)(x - 5) - 28 = 0.$

Ответ:

2) $(x + 6)^2(x - 4) = 3(x + 6).$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $(x - 2)^2(x - 5) = 28(x - 2)$

Решение.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:

$(x - 2)^2(x - 5) - 28(x - 2) = 0$

Заметим, что обе части выражения имеют общий множитель $(x - 2)$. Вынесем его за скобки:

$(x - 2)((x - 2)(x - 5) - 28) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $x - 2 = 0$

Отсюда находим первый корень:

$x_1 = 2$

2) $(x - 2)(x - 5) - 28 = 0$

Раскроем скобки во втором уравнении и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 5x - 2x + 10 - 28 = 0$

$x^2 - 7x - 18 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_2 = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_3 = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Объединяя все найденные корни, получаем итоговый ответ.

Ответ: -2; 2; 9.

2) $(x + 6)^2(x - 4) = 3(x + 6)$

Решение.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$(x + 6)^2(x - 4) - 3(x + 6) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 6)$ за скобки:

$(x + 6)((x + 6)(x - 4) - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Разобьем на два случая:

1) $x + 6 = 0$

Отсюда получаем первый корень:

$x_1 = -6$

2) $(x + 6)(x - 4) - 3 = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 - 4x + 6x - 24 - 3 = 0$

$x^2 + 2x - 27 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 4 + 108 = 112$

$\sqrt{D} = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$

Найдем корни уравнения:

$x_2 = \frac{-2 + 4\sqrt{7}}{2} = -1 + 2\sqrt{7}$

$x_3 = \frac{-2 - 4\sqrt{7}}{2} = -1 - 2\sqrt{7}$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: -6; $-1 - 2\sqrt{7}$; $-1 + 2\sqrt{7}$.